$$\int\limits_{0}^{+\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)^{\alpha}\ln(1+x^{-3\alpha})\,dx,\alpha>0$$ Разбиваю его на два от нуля до единицы и от единицы до бесконечности

на первом промежутке $$f(x) \sim \frac{1}{x^{4\alpha}}$$ как тогда исследовать на втором?

задан 22 Дек '13 20:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

На первом промежутке, то есть вблизи нуля, получается не так. Функция $%\ln(1+z)$% примерно равна $%z$% при малых значениях $%z$%, а тут всё наоборот: $%x^{-3\alpha}$% стремится к бесконечности, поэтому пренебрегаем единицей и получаем $%-3\alpha\ln x$%. Получается $$f(x)\sim\frac{\ln x}{x^{\alpha}},$$ и сходимость вблизи нуля имеет место при $%\alpha < 1$%.

Вблизи бесконечности будет $$f(x)\sim\frac1{x^{2\alpha}},$$ так как здесь логарифм заменяется на то, о чём говорилось выше. И здесь условием сходимости будет $%\alpha > 1/2$%.

ссылка

отвечен 23 Дек '13 1:59

Вот еще вопрос , в первом случае, по какому признаку у нас будет сходимость при $$\alpha<1$$

(25 Дек '13 9:43) Jhon
1

Тут можно по-разному рассуждать. Один способ такой: сделаем замену $%x=e^{-t}$%, где $%t\to+\infty$%. Если записать получившийся интеграл, то сразу становится ясно, что он сходится при $%\alpha < 1$%. Второй способ: замена $%y=1/x$%, где $%y\to+\infty$%. Тогда получается интеграл до бесконечности от $%\ln y/y^k$%, где $%k=2-\alpha > 1$%. Логарифм растёт медленнее степенной функции, и его оцениваем сверху в виде $%y^c$%, где $%c$% -- близкое к нулю положительное число. Тогда в знаменателе $%y$% будет в степени с показателем, большим 1, что достаточно для сходимости.

(25 Дек '13 9:59) falcao

а почему k именно такое?

(26 Дек '13 16:38) Jhon
1

$%y=1/x$%; тогда $%x^{\alpha}=y^{-alpha}$%; $%dx=d(1/y)=-dy/y^2$%. Как раз и получается показатель $%2-\alpha$% в знаменателе.

(26 Дек '13 16:52) falcao

ясно, спасибо, про дифференциал я и забыл, интеграл от едиинцы до бесконечности ведь поулчится?

(26 Дек '13 17:36) Jhon

Можете все-таки посмотреть соседнюю тему math.hashcode.ru/questions/28140/

(27 Дек '13 13:05) Jhon
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265
×517
×276
×133

задан
22 Дек '13 20:39

показан
1355 раз

обновлен
27 Дек '13 13:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru