Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1, а сумма знаменателей равна (-4).

Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна (-724).

Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины. (Помогите с решением, я наверное просто туплю, составила систему p+q =-4 и p^5+q^5=-724 , где p и q знаменатели ГП, получила уравнение 4 степени которое не могу решить помогите пожалуйста с ответом, к олимпиаде очень нужно)

задан 22 Дек '13 21:54

изменен 25 Дек '13 22:36

Deleted's gravatar image


126

Вот здесь задали вопрос, аналогичный Вашему, и я там сейчас представил ещё один способ решения, не связанный с исследованием корней уравнений 4-й степени.

(24 Дек '13 22:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнения составлены верно. При этом действительно возникает уравнение четвёртой степени: $$p^4+8p^3+32p^2+64p+15=0.$$ Рациональных корней здесь нет, но можно, тем не менее, попытаться разложить многочлен четвёртой степени на множители. В данном случае это можно сделать следующим способом, и получается достаточно просто (хотя в общем случае может быть и не так). А именно, рассмотрим первые два слагаемых, и заметим, что там до полного квадрата не хватает $%16p^2$%. Поэтому уравнение представляется в виде $%p^4+8p^3+16p^2+16p^2+64p+15=0$%, то есть $%(p^2+4p)^2+16(p^2+4p)+15=0$%. Здесь уже рассматриваем $%p^2+4p$% как отдельное выражение, и до полного квадрата не хватает 49. Прибавляем это число к обеим частям, и получается $%(p^2+4p+8)^2=7^2$%. Из формулы для разности квадратов получаем разложение на множители: $%(p^2+4p+1)(p^2+4p+15)=0$%. Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится то, с чего начали.

Теперь можно решить квадратные уравнения. Одно из них действительных корней не имеет (второе). Первое уравнение имеет иррациональные корни, и их можно найти явно, подставив затем в выражение $%p^4+q^4$% (это и есть сумма пятых членов). Но в таком виде вычислять неудобно, поэтому мы просто запомним, что $%p^2+4p=-1$%, и попытаемся сумму $%p^4+q^4=p^4+(-4-p)^4$% найти в буквенном виде. После раскрытия скобок и упрощений возникает многочлен $%f=2p^4+16p^3+96p^2+256p+256$%. Его можно поделить с остатком на $%p^2+4p+1$%, но можно этого и не делать, так как мы знаем, что $%p$% удовлетворяет уравнению 4-й степени, которое было рассмотрено выше. Вычитая из полученного выражения $%f$% удвоенную левую часть уравнения, написанного в самом верху, мы получим $%f=32p^2+128p+226=32(p^2+4p)+226=-32+226=194$%. Это ответ.

ссылка

отвечен 23 Дек '13 0:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,771
×42
×34

задан
22 Дек '13 21:54

показан
1101 раз

обновлен
24 Дек '13 22:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru