Найти общее решение дифференциального уравнения: y=xy'+1/(2(y' )^2 )

задан 23 Дек '13 4:14

изменен 23 Дек '13 23:04

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Продифференцируем обе части уравнения $%y=xy'+(y')^{-2}/2$% по переменной $%x$%. Получим $%y'=y'+xy''-2(y')^{-3}y''/2$%, то есть $%y''(x-(y')^{-3})=0$%. Если $%y''=0$%, то $%y'=c$%, и тогда в исходном уравнении получается $%y=cx+1/(2c^2)$%. Заодно было проверено, что такая функция подходит. Если $%x-(y')^{-3}=0$%, то $%y'=x^{-1/3}$%, и тогда интегрирование даёт $%y=\frac32x^{2/3}+a$%, где $%a$% -- константа. Подставим эту функцию в исходное уравнение, и получится, что $%a=0$%. Таким образом, решениями будут линейные функции вида $%y=cx+1/(2c^2)$% при $%c\ne0$% и функция $%y=\frac32x^{2/3}$%.

ссылка

отвечен 23 Дек '13 5:35

изменен 23 Дек '13 13:12

1

@falcao, красиво... ))
только там должно оставаться $%(y ' )^{-3}$% , да ? ( т.е. $%y ' = x^{-\frac{1}{3}}$% ?)

(23 Дек '13 12:56) ЛисаА

@ЛисаА: там у меня в конце получилось то, что нужно, однако в процессе написания я пропустил минусы в трёх (!) местах. Сейчас исправлю. Спасибо, что заметили.

(23 Дек '13 13:10) falcao

да там понятно, что должно получиться.. опечатки - не важно, красиво все равно ))
главное - придумать такое "первое действие" ( продифференцировать уравнение ), а довести до ответа уже можно..

(23 Дек '13 13:11) ЛисаА

@ЛисаА: там ещё вот что можно заметить. Если взять уравнение касательной к кривой, то она будет принадлежать семейству указанных линейных функций. То есть решений тут будет много: их можно "склеивать" из кривых и отрезков. Чтобы этого не происходило, нужно наложить дополнительные ограничения на порядок гладкости функции.

(23 Дек '13 13:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×825

задан
23 Дек '13 4:14

показан
353 раза

обновлен
23 Дек '13 13:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru