|
$$\int^1_0arctg x\cos\frac{1}{x}x^{\alpha}dx$$ Я исследовал на абсолютную сходимость, получилось, он абсолютно сходится, при $$\alpha>-2$$Далее я домножил на производную аргумента косинуса и разделил, получается $$f(x)=-\frac{1}{x^{2}}\cos\frac{1}{x}$$Имеет ограниченную первообразную, непрерывен $$g(x)=1/x^{-\alpha-2}$$непрерывно дифференцируема и монотонна $$\int^1_0x^{\alpha}\cos\frac{1}{x}dx$$ сходится по Дирихле. $$arctg x$$Непрерывно дифференцируем, монотонен и ограничен на множестве, следовательно исходный интеграл$$\int^1_0arctg x\cos\frac{1}{x}x^{\alpha}dx$$ сходится по Абелю , при $$\alpha<-2$$ Правильны ли эти рассуждения? задан 23 Дек '13 12:53 
Jhon |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
23 Дек '13 12:53
показан
1583 раза
обновлен
27 Дек '13 13:37
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
@Jhon: я пока затрудняюсь что-то сказать о правильности, потому что эти рассуждения для меня непонятны. Что доказывается в итоге? Для каких значений $%\alpha$% утверждается сходимость? Что значит фраза "сходится по Дирихле arctg x"? Также надо добавить везде пропущенные символы дифференциалов.
Отредактировал, $$\int^1_0f(x)g(x)dx$$ сходится по Дирихле, а арктангнес непрерывно дифференцируем монотонен и ограничен на множестве
@Jhon: я чуть позже прочитаю всё внимательно и проверю. Пока что отмечу одну вещь: у Вас в конце предложения не было точки, а новое предложение начиналось с выражения "arctg x". Это-то меня и запутало.
Возник вопрос, как доказать расходимость при $$\alpha<-3$$Пробую по отрицанию Критерия Коши, но немогу оценить арктангенс
Арктангенс "малого" угла можно просто заменить на $%x$% при любых оценках. В данном случае идёт оценка снизу, и просто применяем неравенство $%\arctan x > x$%. Надо рассмотреть интеграл по отрезку $%1/(2\pi k-c);1/(2\pi k+c)$%, где $%c$% -- небольшая константа. Косинус там близок к 1, то есть он больше 1/2. При этом $%x$% имеет порядок $%1/k$%. Тогда $%x^{-3}\arctan x > c_1/k^2$%, это число выносим, а интеграл от косинуса больше $%1/2$% умножить на длину отрезка, которая $%\sim k^2$%. Значит, интеграл по близкому к нулю отрезку может быть больше константы. По критерию Коши имеем расходимость.