ряд от 0 до бесконечности arctg(nx)/(n^4+x)^1/3

задан 23 Дек '13 19:00

10|600 символов нужно символов осталось
0

Прежде всего, функция здесь определена при $%x > 0$%. На множестве $%E=(0;+\infty)$% функциональный ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\arctan nx}{(n^4+x)^{1/3}}$$ с неотрицательными членами мажорируется сходящимся рядом $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\pi}{2n^{4/3}},$$ не зависящим от $%x$%. Отсюда следует равномерная сходимость функционального ряда на $%E$%, а потому и непрерывность во всех точках области определения функции.

ссылка

отвечен 23 Дек '13 22:36

да, такое условие

(23 Дек '13 22:52) Катринка
10|600 символов нужно символов осталось
0

Чтобы сумма ряда $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\operatorname {arctg}{\frac{nx}{(n^4+x)^{\frac{1}{3}}}}} \tag{1}$$ была непрерывной на $%\mathbb{R},$% необходимо, чтобы ряд $%(1)$% сходился, по крайней мере, в каждой точке $%x\in\mathbb{R}.$%
Пусть $%x>1.$% Тогда найдется такое $%n_x\in\mathbb{N},$% что для всех $%n>n_x$% будет выполняться $%n^4+x<2n^4$% (достаточно взять $%n_x>\sqrt[4]{x}$%). Тогда $$\frac{nx}{(n^4+x)^{\frac{1}{3}}}>\frac{n}{(2n)^{\frac{4}{3}}}={\frac{1}{2^{\frac{4}{3}}}}\cdot{\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}}.$$ Учитывая эквивалентность $%\operatorname{arctg}{t}\underset{t\to{0}}\sim{t},$% получаем, что $$\operatorname {arctg}{\frac{nx}{(n^4+x)^{\frac{1}{3}}}}>{\frac{1}{2^{\frac{4}{3}}}}\cdot{\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}},\quad n\to\infty.$$ Однако ряд $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}}$$ является расходящимся, следовательно, исходный функциональный ряд при $%x>1$% также расходится.

ссылка

отвечен 23 Дек '13 21:52

@Mather: мне кажется, тут в условии арктангенс брался от числа $%nx$%.

(23 Дек '13 22:24) falcao

арктангенс от числа пx

(23 Дек '13 22:52) Катринка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×758

задан
23 Дек '13 19:00

показан
449 раз

обновлен
23 Дек '13 22:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru