|
Пусть случайные величины имеют одинаковое невырожденное распределение с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Найти дисперсию, если
задан 23 Дек '13 21:13 
Pyatachok |
|
Поскольку это всё говорится в контексте ЦПТ, должно считаться, что случайные величины $%\xi_1$%, ..., $%\xi_n$% независимы. Согласно ЦПТ, случайная величина $%\frac{S_n-na}{\sigma\sqrt{n}}$% сходится по распределению к стандартной нормально распределённой случайной величине. По условию, $%a=0$% (среднее значение), а $%\sigma\ne0$% -- это корень из дисперсии, которую нужно найти. В условии рассматривается вероятность события $%\{\frac{S_n}{\sqrt{n}} > 1\}$%, что равносильно $%\{\frac{S_n}{\sigma\sqrt{n}} > 1/\sigma\}$%. Предел этой вероятности, с одной стороны, равен $%1/3$%. С другой стороны, он же равен вероятности того, что предельная случайная величина примет значение больше $%1/\sigma$%. Эта вероятность выражается интегралом $$\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{1/\sigma}^{\infty}e^{-t^2/2}dt,$$ что равняется $%1/3$%. По таблицам для нормального распределения (их легко найти в учебниках или в Сети), в которых надо смотреть значение вероятности дополнительного события, то есть $%1-1/3$%, находим значение, приблизительно равное $%0,43$%. Отсюда получаем/ что дисперсия приблизительно $%(1/0,43)^2\approx5,41$%. отвечен 23 Дек '13 22:12 
falcao большое спасибо!)
(23 Дек '13 22:30)
Pyatachok
@falcao, а почему найденное значение функции Лапласа равно 0.43? для значения (1-1/3) аргумент равен же 0.97? или я что-то путаю?
(23 Дек '13 23:08)
Pyatachok
@Pyatachok: несовпадение связано с тем, что бывают разные виды таблиц. Нам надо следить на тем, чтобы интеграл от $%x$% до $%+\infty$% был равен 1/3. Вы, скорее всего, брали за основу таблицы этого типа, где интеграл берётся от 0 до $%x$%. Тогда надо ориентироваться на значение 1/6, а не 2/3, потому что интеграл от $%-x$% до $%x$% должен быть равен 1/3. И тогда значению 0,166... внутри таблиц соответствует $%x=0,43$%.
(23 Дек '13 23:16)
falcao
|