Четыре друга участвовали в олимпиаде. Витя решил больше всех задач - восемь, а Петя меньше всех - пять задач. Каждая задача была решена ровно тремя из друзей. Сколько задач было на олимпиаде?

Пожалуйста, если можно, объясните доступно для ребенка.

Заранее большущее спасибо.

задан 16 Мар '12 14:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

А какого возраста ребенок? С "иксами" умеет работать?
Если да - можно обозначить за x искомое число задач. И подсчитать число всех решений, которые дали друзья. Их будет 3x.
С одной стороны, все друзья дали не более 5 + 7 + 7 + 8 = 27 решений, с другой не менее 5 + 6 + 6 + 8 = 25. В этом промежутке на 3 делится только число 27. Значит, x = 9.

ссылка

отвечен 16 Мар '12 17:36

Огромнейшее Вам спасибо. Ребенок все понял).Доче 10 лет.

(16 Мар '12 20:18) Кэтрин

Дала задачку своему сыну (ему 11 лет). Его рассуждения навели меня на мысль: мы только доказали, что задач не могло быть не 9. Но, по идее, надо еще показать, как распределяются решенные задачи по 4 друзьям, можно ли их "раскидать" так, чтобы каждая имела по 3 решения? Для 10 лет, может, это и необязательно, но вообще-то строгая логика этого требует!

(16 Мар '12 20:25) DocentI
1

Да, например, если Петя решил 1, а Витя 4, то решение даст 3 задачи. Откуда же Витя взял еще одну задачу?

(17 Мар '12 0:19) Андрей Юрьевич

Построить схему распределения можно. Например, так: $$\pmatrix{1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0\cr 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 1\cr 1& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 1\cr 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1}$$

(17 Мар '12 0:23) DocentI

А почему 4х10 ? Скорее так: Витя(111111110), Коля(110011111), Миша(001111111), Петя(111100001)

(17 Мар '12 0:33) Андрей Юрьевич

Это промежуточное состояние в процессе редактирования: формулы-то я вставляю плохо! ;-))

(17 Мар '12 0:35) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Я решила с 4 переменными, с помощью диаграмм Венна. 4 круга соответствуют 4 ребят, в синих участках не должен быть не одной задачи,у меня получилась только одно решение- 9.Но Для ребенка 10 лет ваша решение лучше.

Обьяснаю мое решение для Андрея Юревича. Верхный левий круг множество задач которые решил Петя, правый нижный- Витя,а две остальные круги множеств задач решенные остальными ребятами.Так как все задачи решены ровно тремя ребятамы, то они располжены в указанных областях.Числа задач этих областей обозначила через x,y,z,t (x-это число тех задач которые решили и Витя,и Миша и Коля. y-это число тех задач которые решили и Витя,и Миша и Петя. t-это число тех задач которые решили и Коля,и Петя и Витя. z-это число тех задач которые решили и Коля,и Миша и Петя). По условию задачи нет нерешнных задач и x+y+z+t число всех задач,число задач решенных Витей x+y+t, Петей y+z+t, а остальных двух x+y+z и x+t+z.

Получила систему x+y+t=8, x+y+z=7, x+t+z=7, y+z+t=5. Я сложила все 4 уравнения, получила 3x+3y+3z+3t=27, откуда x+y+z+t=9,это ответ задачи. Из последнего равенства вычитая каждая равенство системы получаем z=1,t=2,y=2,x=4 (на ответ коментарии Ирины Григоревны).

Что касается семерок , то ясно что если вместо их взять 6,6 или 6,7 , то вместо 27 получили бы 26 или 25, которые не делятся на 9.

А что касается картины. Она мне помогла ясно представить задачу и понять что решение окончательное. Я ничего не изобрела, такие задачи часто решаюся с помощю диаграмм. Кстати ваши примери (распределения) доказывают что мое решение правильно.

ссылка

отвечен 16 Мар '12 20:48

изменен 17 Мар '12 18:20

О Боже!!! Мне стало страшно)))).

Спасибо).

(16 Мар '12 20:53) Кэтрин

А у меня пока не получается рисунки вставлять!

(16 Мар '12 23:21) DocentI

Про диаграммы Венна - не понял. Откуда берутся числа?

(16 Мар '12 23:57) Андрей Юрьевич

Из системы x+y+t=8, x+y+z=7, x+t+z=7, y+z+t=5

(17 Мар '12 8:29) ASailyan

Тогда совсем не понял. Что такое x,y,z и t ? Откуда взялись две 7 ? И, наконец, как это все связано с картинкой?

(17 Мар '12 13:36) Андрей Юрьевич

Ну если это так важно обьясню . Верхный левий круг множество задач которые решил Петя, правый нижный- Витя,а две остальные круги множеств задач решенные остальными ребятами.Так как все задачи решены ровно тремя ребятамы, то они расплолжены в указанных областях.Числа задач этих областей обозначила через x,y,z,t. Я сложила все 4 уравнения, получила 3x+3y+3z+3t=27, откуда x+y+z+t=9,это ответ задачи. Из последнего равенства вычитая каждая равенство системы получаем z=1,t=2,y=2,x=4 (на ответ коментарии Ирины Григоревны).

(17 Мар '12 14:15) ASailyan

Что касается семерок , то ясно что если вместо их взять 6,6 или 6,7 , то вместо 27 получили бы 26 или 25, которые не делятся на 9. А что касается картины. Она мне помогла ясно представить задачу и понять что решение окончательное. Я ничего не изобрела, такие задачи часто решаюся с помощю диаграмм.

(17 Мар '12 14:17) ASailyan
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

ASailyan, не подумайте, что я придираюсь, мне, действительно, интересно. Судя по Вашему объяснению, через x,y,z,t Вы все-таки обозначили количества НЕРЕШЕННЫХ задач. Действительно, если, например, Витя решил 8 задач, то остальные столько же не решили в сумме, т.к. на каждую решенную Витей задачу найдется ровно 1 мальчик, не решивший ее. Но все равно, вместо семерок нужно писать a и b, далее после сложения сказать, что a=b=7, после этого, действительно получатся количества задач, нерешенных каждым из учеников.

ссылка

отвечен 17 Мар '12 16:50

x-это число тех задач которые решили и Витя,и Миша и Коля. y-это число тех задач которые решили и Витя,и Миша и Петя. t-это число тех задач которые решили и Коля,и Петя и Витя. z-это число тех задач которые решили и Коля,и Миша и Петя. По условию задачи нет нерешнных задач. Но я уже устала. Вы не виноваты, мне трудно переводить мои рассуждения.

(17 Мар '12 17:22) ASailyan

Все-таки, мне кажется, что мои словесные формулировки полностью соответствуют Вашим формулам.

(17 Мар '12 18:03) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
0

почему Витя решил больше всех 8 ,Петро меньше всех 5,а остальные два друга 6 и 6,7 и 7 соответственно,почему не 7 и 6,или 6 и 7 если например.Хотя может это вовсе не принципиально)

ссылка

отвечен 29 Мар '12 17:35

В чем вопрос? В решении DocentI ведь все написано!

(29 Мар '12 17:52) Андрей Юрьевич

Это называется "оценка". Конечно, у двух безымянных ребят может быть и 7, 6 или 6, 7 задач. Но наименьшим будет число 6 + 6, наибольшим 7 + 7 решенных задач.

Когда решал мой сын (5 класс), он прербрал все варианты. Все равно на 3 делится только в одном.

(29 Мар '12 19:13) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Уважаемая DocentI Можно ли просить Вас пояснить, как вы пришли к построению этого решения Bik

ссылка

отвечен 3 Апр '12 14:21

Да просто позанималась математикой лет 40-45 ;-))
На самом деле более "естественное" решение - просто перебрать все возможности, т.е. сколько решил каждый ученик. И потом попытаться подсчитать, сколько решений пришлось на каждую задачу. Оказывается, это число равно от 25/3 до 27/3, целое - только последнее.
Дальше, по идее, надо предъявить само распределение задач. Там можно расставить задачи для Пети, а потом - другим.

(3 Апр '12 15:18) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×291

задан
16 Мар '12 14:12

показан
2527 раз

обновлен
3 Апр '12 15:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru