|
Четыре друга участвовали в олимпиаде. Витя решил больше всех задач - восемь, а Петя меньше всех - пять задач. Каждая задача была решена ровно тремя из друзей. Сколько задач было на олимпиаде? Пожалуйста, если можно, объясните доступно для ребенка. Заранее большущее спасибо. задан 16 Мар '12 14:12 
Кэтрин |
|
А какого возраста ребенок? С "иксами" умеет работать? отвечен 16 Мар '12 17:36 
DocentI 1
Дала задачку своему сыну (ему 11 лет). Его рассуждения навели меня на мысль: мы только доказали, что задач не могло быть не 9. Но, по идее, надо еще показать, как распределяются решенные задачи по 4 друзьям, можно ли их "раскидать" так, чтобы каждая имела по 3 решения? Для 10 лет, может, это и необязательно, но вообще-то строгая логика этого требует!
(16 Мар '12 20:25)
DocentI
2
Да, например, если Петя решил 1, а Витя 4, то решение даст 3 задачи. Откуда же Витя взял еще одну задачу?
(17 Мар '12 0:19)
Андрей Юрьевич
1
Построить схему распределения можно. Например, так: $$\pmatrix{1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0\cr 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 1\cr 1& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 1\cr 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1}$$
(17 Мар '12 0:23)
DocentI
1
А почему 4х10 ? Скорее так: Витя(111111110), Коля(110011111), Миша(001111111), Петя(111100001)
(17 Мар '12 0:33)
Андрей Юрьевич
1
Это промежуточное состояние в процессе редактирования: формулы-то я вставляю плохо! ;-))
(17 Мар '12 0:35)
DocentI
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Я решила с 4 переменными, с помощью диаграмм Венна. 4 круга соответствуют 4 ребят, в синих участках не должен быть не одной задачи,у меня получилась только одно решение- 9.Но Для ребенка 10 лет ваша решение лучше. Обьяснаю мое решение для Андрея Юревича. Верхный левий круг множество задач которые решил Петя, правый нижный- Витя,а две остальные круги множеств задач решенные остальными ребятами.Так как все задачи решены ровно тремя ребятамы, то они располжены в указанных областях.Числа задач этих областей обозначила через x,y,z,t (x-это число тех задач которые решили и Витя,и Миша и Коля. y-это число тех задач которые решили и Витя,и Миша и Петя. t-это число тех задач которые решили и Коля,и Петя и Витя. z-это число тех задач которые решили и Коля,и Миша и Петя). По условию задачи нет нерешнных задач и x+y+z+t число всех задач,число задач решенных Витей x+y+t, Петей y+z+t, а остальных двух x+y+z и x+t+z. Получила систему x+y+t=8, x+y+z=7, x+t+z=7, y+z+t=5. Я сложила все 4 уравнения, получила 3x+3y+3z+3t=27, откуда x+y+z+t=9,это ответ задачи. Из последнего равенства вычитая каждая равенство системы получаем z=1,t=2,y=2,x=4 (на ответ коментарии Ирины Григоревны). Что касается семерок , то ясно что если вместо их взять 6,6 или 6,7 , то вместо 27 получили бы 26 или 25, которые не делятся на 9. А что касается картины. Она мне помогла ясно представить задачу и понять что решение окончательное. Я ничего не изобрела, такие задачи часто решаюся с помощю диаграмм. Кстати ваши примери (распределения) доказывают что мое решение правильно. отвечен 16 Мар '12 20:48 
ASailyan О Боже!!! Мне стало страшно)))). Спасибо).
(16 Мар '12 20:53)
Кэтрин
А у меня пока не получается рисунки вставлять!
(16 Мар '12 23:21)
DocentI
Про диаграммы Венна - не понял. Откуда берутся числа?
(16 Мар '12 23:57)
Андрей Юрьевич
Из системы x+y+t=8, x+y+z=7, x+t+z=7, y+z+t=5
(17 Мар '12 8:29)
ASailyan
Тогда совсем не понял. Что такое x,y,z и t ? Откуда взялись две 7 ? И, наконец, как это все связано с картинкой?
(17 Мар '12 13:36)
Андрей Юрьевич
Ну если это так важно обьясню . Верхный левий круг множество задач которые решил Петя, правый нижный- Витя,а две остальные круги множеств задач решенные остальными ребятами.Так как все задачи решены ровно тремя ребятамы, то они расплолжены в указанных областях.Числа задач этих областей обозначила через x,y,z,t. Я сложила все 4 уравнения, получила 3x+3y+3z+3t=27, откуда x+y+z+t=9,это ответ задачи. Из последнего равенства вычитая каждая равенство системы получаем z=1,t=2,y=2,x=4 (на ответ коментарии Ирины Григоревны).
(17 Мар '12 14:15)
ASailyan
Что касается семерок , то ясно что если вместо их взять 6,6 или 6,7 , то вместо 27 получили бы 26 или 25, которые не делятся на 9. А что касается картины. Она мне помогла ясно представить задачу и понять что решение окончательное. Я ничего не изобрела, такие задачи часто решаюся с помощю диаграмм.
(17 Мар '12 14:17)
ASailyan
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
ASailyan, не подумайте, что я придираюсь, мне, действительно, интересно. Судя по Вашему объяснению, через x,y,z,t Вы все-таки обозначили количества НЕРЕШЕННЫХ задач. Действительно, если, например, Витя решил 8 задач, то остальные столько же не решили в сумме, т.к. на каждую решенную Витей задачу найдется ровно 1 мальчик, не решивший ее. Но все равно, вместо семерок нужно писать a и b, далее после сложения сказать, что a=b=7, после этого, действительно получатся количества задач, нерешенных каждым из учеников. отвечен 17 Мар '12 16:50 
Андрей Юрьевич x-это число тех задач которые решили и Витя,и Миша и Коля. y-это число тех задач которые решили и Витя,и Миша и Петя. t-это число тех задач которые решили и Коля,и Петя и Витя. z-это число тех задач которые решили и Коля,и Миша и Петя. По условию задачи нет нерешнных задач. Но я уже устала. Вы не виноваты, мне трудно переводить мои рассуждения.
(17 Мар '12 17:22)
ASailyan
Все-таки, мне кажется, что мои словесные формулировки полностью соответствуют Вашим формулам.
(17 Мар '12 18:03)
Андрей Юрьевич
|
|
почему Витя решил больше всех 8 ,Петро меньше всех 5,а остальные два друга 6 и 6,7 и 7 соответственно,почему не 7 и 6,или 6 и 7 если например.Хотя может это вовсе не принципиально) отвечен 29 Мар '12 17:35 
Apel В чем вопрос? В решении DocentI ведь все написано!
(29 Мар '12 17:52)
Андрей Юрьевич
Это называется "оценка". Конечно, у двух безымянных ребят может быть и 7, 6 или 6, 7 задач. Но наименьшим будет число 6 + 6, наибольшим 7 + 7 решенных задач. Когда решал мой сын (5 класс), он прербрал все варианты. Все равно на 3 делится только в одном.
(29 Мар '12 19:13)
DocentI
|
|
Уважаемая DocentI Можно ли просить Вас пояснить, как вы пришли к построению этого решения
Bik отвечен 3 Апр '12 14:21 
Bik Да просто позанималась математикой лет 40-45 ;-))
(3 Апр '12 15:18)
DocentI
|