1.$$ \lim_{ x \rightarrow \frac{\pi}{4} }{ \left(\frac{4x}{\pi}\right)^{(2 tg(x)-2)^{-1} } }$$ 2.$$ \lim_{x \rightarrow -3} \frac{ \ln(x+4) }{ 7^{x^2-8}-7 }$$ 3.$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt[4]{1+x^2} - (1+x) }{ \arcsin^2( \sqrt{x+1} - 1 ) } $$

Подскажите, пожалуйста, хоть с чего начать решать? Не применяя правило Лопиталя.

задан 24 Дек '13 0:16

В первых двух для начала сделайте замены - х-pi/4=y и х+3=Y. Cразу станет понятнее

(24 Дек '13 0:21) epimkin

@epimkin, во втором пробовал такую замену делать, но не разобрался, как поступать с $%x^2−8$% (как в неё замену подставить).

(24 Дек '13 0:32) kiecstor

х=у-3 и подставляете , потом семерку одну за скобку вынесете

(24 Дек '13 0:50) epimkin

@epimkin, оказывается такая простая замена.

Но что вы подразумеваете под вынесением 7 за скобки? Таким образом можно делать?: $$ \lim_{y \rightarrow 0} \frac{y}{ 7^{y^2-6y+1}-1-6 } = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{y}{ (y^2-6y+1)\ln7 - 6 }$$ (почему-то мне кажется, что так неправильно, и не упростит задачу)

(24 Дек '13 1:24) kiecstor

@kiecstor: преобразование, когда $%7^z-1$% заменяется на $%z\ln7$%, можно применять только для $%z$% близких к нулю. Это можно сделать для $%y^2-6y$%, почему @epimkin и сказал, что надо вынести в знаменателе множитель 7. Поучилось бы $%7(7^{y^2-6y}-1)$%, и лишь после этого появляется логарифм и прочее.

(24 Дек '13 1:36) falcao

Да, именно это я имел ввиду, два я сделал, но ответить могу только завтра, третий что то не получается совсем

(24 Дек '13 1:51) epimkin

@epimkin, @falcao, спасибо за объяснение.

Плохо, что таких элементарных вещей не замечаю.


UPD.

Теперь возникли вопросы по первому. $$\lim_{ x \rightarrow \frac{\pi}{4} }\left(\frac{4x}{\pi}\right)^{(2 tg(x)-2)^{-1} } = \left\{1^{\infty}\right\}=\lim_{ y \rightarrow 0 }\left(\frac{4y}{\pi}+1\right)^{(2-2)^{-1}}=\left\{1^{\infty}\right\}$$ Где $%tg(y+\frac{\pi}{4})=\frac{1+tg(y)}{1+tg(y)}=1$%

От неопределённости в итоге не избавились, как дальше - не пойму.

(24 Дек '13 3:18) kiecstor

@kiecstor: там помимо замены, надо прологарифмировать выражение. У него находится предел, и если он равен, скажем, 3, то исходный предел равен -3. А до логарифмирования неопределённость и должна быть.

(24 Дек '13 3:38) falcao

@falcao, а как быть с бесконечностью $%(2-2)^{-1}$%? $$\lim_{ y \rightarrow 0 }\left((2-2)^{-1}\ln\left(\frac{4y}{\pi}+1\right)\right)$$ Или логарифмировать надо до этого?

(24 Дек '13 15:26) kiecstor

Тут не надо упрощать до 2-2, то есть переходить к пределу. Надо вписать то, что есть. Получится дробь. Надо только правильно сделать замену: тангенс икс равен tg(y+п/4)=(1+tg y)/(1-tg y), согласно формуле. Вычитаем 1, получается 2tg y/(1+tg y). Есть ещё множитель 2, и надо перейти к обратной величине. Это даст (1+tg y)/(4tg y) вместо 2-2 в минус первой. Здесь 1+tg y стремится к 1, и его можно не учитывать. Останется логарифм делённый на 4tg y. Теперь ln(1+z) превращаем в z, и tg y в y. После этого y сократится и неопределённость разрешится.

(24 Дек '13 15:51) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 24 Дек '13 16:30

изменен 24 Дек '13 16:33

1

@epimkin, спасибо.

Попытался решить логарифм в степени через tg, а не sin/cos.

$$\lim_{y->0}\frac{4y}{\pi \cdot2\left[tg(y+\frac{\pi}{4})-1\right]}=\lim_{y->0}\frac{2y}{\frac{\pi\cdot 2tgy}{1-tgy}}=\lim_{y->0}\frac{2y(1-y)}{\pi 2y}=\lim_{y->0}\frac{1-y}{\pi}=\frac{1}{\pi}$$

Но ответ неправильный получился.

(24 Дек '13 18:42) kiecstor

Наверное я где-то ошибся

(24 Дек '13 18:52) epimkin

@epimkin, нет, как раз у вас ответ правильный. Должна получиться единица.

(24 Дек '13 18:55) kiecstor

Спасибо, а я только собрался пересчитывать

(24 Дек '13 19:01) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618
×1,862
×743

задан
24 Дек '13 0:16

показан
780 раз

обновлен
24 Дек '13 19:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru