Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1, а сумма знаменателей равна 3.

Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна 573.

задан 24 Дек '13 17:16

изменен 24 Дек '13 20:51

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Аналогичная задача была решена здесь. Можно было бы ограничиться этой ссылкой, так как принцип решения тот же. Однако мне пришла в голову идея ещё одного решения, не связанного с составлением уравнения 4-й степени. Её я сейчас и изложу.

Прежде всего, введём обозначения для знаменателей геометрических прогрессий, после чего задача принимает такой вид: известно, что $%p+q=3$% и $%p^5+q^5=573$%; найти $%p^4+q^4$%.

Идея в том, что суммы степеней можно выразить через $%p+q$% и $%pq$%. Мы в таких выражениях будем заменять $%p+q$% на $%3$%, а $%pq$% на $%t$%. Например: $%(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$%, то есть $%p^2+q^2=9-2t$%.

Для пятой степени формула такова: $%(p+q)^5=p^5+5p^4q+10p^3q^2+10p^2q^3+5pq^4+q^5$%. Это частный случай биномиальной формулы общего вида (т.н. "бинома Ньютона"), но можно вывести эту формулу непосредственно, раскрывая все скобки. Здесь получается, что $%243=3^5=(p^5+q^5)+5pq(p^3+2p^2q+2pq^2+q^3)$%. В скобках находится почти что куб суммы, отличающийся коэффициентами в середине. Это выражение равно $%(p+q)^3-pq(p+q)=27-3t$%. Заменяя его, имеем $%243=(p^5+q^5)+5t(27-3t)=573+5t(27-3t)$%, согласно условию. Упрощая и сокращая на $%15$%, имеем $%t^2-9t-22=0$%. Это квадратное уравнение, и его корни легко найти через теорему Виета: $%t_1=11$%, $%t_2=-2$%.

В нашем случае подходит только второе значение, так как при $%t=11$% оказывается, что $%p+q=3$%, $%pq=11$%, и числа $%p$%, $%q$% оказываются корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. Значит, $%t=-2$%. Здесь также можно составить квадратное уравнение и найти его корни $%(3\pm\sqrt{17})/2$%. Это и будут $%p$%, $%q$%, но в таком виде с ними работать не очень удобно. Мы найдём $%p^4+q^4$% тем же методом, что и выше. А именно, $%81=3^4=(p+q)^4=p^4+4p^3q+6p^2q^2+4pq^3+q^4=(p^4+q^4)+2pq(2p^2+3pq+2q^2)$%. Выражение в скобках есть не что иное как $%2(p+q)^2-pq=18-t$%. Отсюда $%81=(p^4+q^4)+2t(18-t)$%, то есть $%p^4+q^4=81-36t+2t^2=81+72+8=161$%, так как $%t=-2$%.

ссылка

отвечен 24 Дек '13 22:07

спасибо!!!я эту задачу и так и так решил!еще раз огромное спасибо!

(24 Дек '13 22:32) nastena6938
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×50

задан
24 Дек '13 17:16

показан
928 раз

обновлен
24 Дек '13 22:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru