прогрессии - Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна 573

Аналогичная задача была решена здесь. Можно было бы ограничиться этой ссылкой, так как принцип решения тот же. Однако мне пришла в голову идея ещё одного решения, не связанного с составлением уравнения 4-й степени. Её я сейчас и изложу.

Прежде всего, введём обозначения для знаменателей геометрических прогрессий, после чего задача принимает такой вид: известно, что $%p+q=3$% и $%p^5+q^5=573$%; найти $%p^4+q^4$%.

Идея в том, что суммы степеней можно выразить через $%p+q$% и $%pq$%. Мы в таких выражениях будем заменять $%p+q$% на $%3$%, а $%pq$% на $%t$%. Например: $%(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$%, то есть $%p^2+q^2=9-2t$%.

Для пятой степени формула такова: $%(p+q)^5=p^5+5p^4q+10p^3q^2+10p^2q^3+5pq^4+q^5$%. Это частный случай биномиальной формулы общего вида (т.н. "бинома Ньютона"), но можно вывести эту формулу непосредственно, раскрывая все скобки. Здесь получается, что $%243=3^5=(p^5+q^5)+5pq(p^3+2p^2q+2pq^2+q^3)$%. В скобках находится почти что куб суммы, отличающийся коэффициентами в середине. Это выражение равно $%(p+q)^3-pq(p+q)=27-3t$%. Заменяя его, имеем $%243=(p^5+q^5)+5t(27-3t)=573+5t(27-3t)$%, согласно условию. Упрощая и сокращая на $%15$%, имеем $%t^2-9t-22=0$%. Это квадратное уравнение, и его корни легко найти через теорему Виета: $%t_1=11$%, $%t_2=-2$%.

В нашем случае подходит только второе значение, так как при $%t=11$% оказывается, что $%p+q=3$%, $%pq=11$%, и числа $%p$%, $%q$% оказываются корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. Значит, $%t=-2$%. Здесь также можно составить квадратное уравнение и найти его корни $%(3\pm\sqrt{17})/2$%. Это и будут $%p$%, $%q$%, но в таком виде с ними работать не очень удобно. Мы найдём $%p^4+q^4$% тем же методом, что и выше. А именно, $%81=3^4=(p+q)^4=p^4+4p^3q+6p^2q^2+4pq^3+q^4=(p^4+q^4)+2pq(2p^2+3pq+2q^2)$%. Выражение в скобках есть не что иное как $%2(p+q)^2-pq=18-t$%. Отсюда $%81=(p^4+q^4)+2t(18-t)$%, то есть $%p^4+q^4=81-36t+2t^2=81+72+8=161$%, так как $%t=-2$%.