Доброго времени суток. Возникло затруднение с данной задачей. Кто может помочь? Заранее благодарю.

Случайные величины ξ1 и ξ2 принимают целые неотрицательные значения и имеют одну и ту же производящую функцию F(x). Найти производящую функцию случайной величины ξ1-ξ2

задан 24 Дек '13 21:34

изменен 25 Дек '13 23:07

Deleted's gravatar image


126

А здесь всё в порядке с условием? Дело в том, что разность $%\xi_1-\xi_2$% может принимать и отрицательные значения, поэтому для неё аналог производящей функции существует только с участием степеней $%x$% с отрицательными показателями. Может быть, имелась в виду всё-таки сумма $%\xi_1+\xi_2$%? Такая постановка задачи более естественна, и там получается достаточно простой ответ: функция $%F(x)^2$%.

(25 Дек '13 0:07) falcao

Вы всё-таки уточните условие по возможности -- в самом ли деле разность, и действительно ли там допускаются отрицательные показатели степени?

В принципе, выразить коэффициенты новой (обобщённой) производящей функции для этого случая не составляет труда, но выражение получается не через $%F(x)$%, а только через коэффициенты, и это не так интересно. Скажем, свободный член там равен $%p_0^2+p_1^2+\cdots+p_n^2+\cdots$%, и это как бы ничему хорошему не соответствует.

(25 Дек '13 9:34) falcao

Ну, тогда только через коэффициенты можно выразить значения, и с участием отрицательных показателей. Не знаю, в какой мере это будет полезно.

P.S. Я сейчас начал было писать ответ, но заметил, что в условии ничего не сказано про независимость двух случайных величин. В этом случае вообще непонятно, что такое разность этих величин: ведь должно быть задано совместное распределение. А то ведь не исключено, что $%\xi_1$% совпадает с $%\xi_2$% (условие это допускает), и тогда разность тождественно равна нулю.

В общем, условие выглядит совершенно некорректным.

(25 Дек '13 21:10) falcao

Да, и заодно ещё неплохо бы уточнить, понимается ли под производящей функцией $%F(x)$% такой ряд $%\sum_{n\ge0}p_nx^n$%, где $%p_n$% -- вероятность принять значение $%n$% для случайной величины. Понятие так или иначе стандартное, но мало ли?

(25 Дек '13 22:15) falcao

Уточнил.Сказали,что все корректно,и, так как ξ1−ξ2 тоже случайная величина,она может принимать любые значения,включая 0.

(26 Дек '13 18:43) capoc3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Комментарий оставить не могу, поэтому приходится писать здесь.

В условии нет никакой информации о совместном распределении случайных величин $%\xi_1$% и $%\xi_2$%. В этом случае распределение разности этих величин нам не известно. Если в условии не подразумевается, что эти величины независимы, то условие некорректно.

Для независимых величин легко выписать формулы, задающие закон распределения разности. Если $%p_k=P\{\xi_1=k\}=P\{\xi_2=k\}$%, где $%k\ge0$%, то положим $%q_m=P\{\xi_1-\xi_2=m\}$%, где $%m\in{\mathbb Z}$%. Тогда $%q_0=p_0^2+p_1^2+\cdots+p_n^2+\cdots$%, $%q_1=p_1p_0+p_2p_1+\cdots+p_{n+1}p_n+\cdots$%, ..., $%q_m=p_mp_0+p_{m+1}p_1+\cdots+p_{m+n}p_n+\cdots$%, ... для $%m\ge0$%. Из соображений симметрии, $%q_{-m}=q_m$%. Тогда производящий ряд (с отрицательными показателяит степеней) будет иметь вид $%\sum_{m\in{\mathbb Z}}q_mx^m$%, где числа $%q_m$% были определены выше.

ссылка

отвечен 27 Дек '13 3:11

Спасибо большое!

(27 Дек '13 3:36) capoc3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,958
×530

задан
24 Дек '13 21:34

показан
1005 раз

обновлен
27 Дек '13 3:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru