высшая-математика - Как Изменить порядок интегрирования

$$\int\limits_0^4dx\int\limits_{x^2/2}^{2x}f(x,y)\,dy$$

Здесь область интегрирования задаётся неравенствами $%0\le x\le4$%, $%x^2/2\le y\le2x$%. Нарисуем границы области: это прямые $%x=0$%, $%x=4$%, парабола $%y=x^2/2$% и прямая $%y=2x$%. Легко понять, что область заключена между последними двумя линиями, которые пересекаются в двух точках: $%(0;0)$% и $%(4;8)$%. Из этого следует, что в пределах области $%y$% меняется от $%0$% до $%8$%, b и при фиксированном $%y$% переменная $%x$% изменяется от $%y/2$% (левой границей фигуры будет прямая $%y=2x$%, она же $%x=y/2$%) до $%\sqrt{2y}$% (справа область ограничена кривой $%y=x^2/2$%, и при этом $%x=\sqrt{2y}$%. В итоге интеграл переписывается в виде $$\int\limits_0^8dy\int\limits_{y/2}^{\sqrt{2y}}f(x,y)\,dx$$