Есть таблица значенией. Найти максимально точное значение Х. Привести пример использования формулы для четырех и более точек(в википедии есть пример для трех точек, а как использовать формулу для большего числа точек)

787706871 112538286
787709244 112535304
790769980 112976980
791683305 113098230
792449119 113209354
793977051 113431566
823439994 Х
825024032 117864512
826847133 118125078
827927688 118286208
831748288 118832008
836489906 119499296
836798641 119547706
http://savepic.net/4178314.htm

задан 25 Дек '13 4:53

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь зависимость близка к линейной, поэтому можно использовать метод наименьших квадратов.

Пусть даны числа $%x_1$%, ..., $%x_n$% и $%y_1$%, ...,$%y_n$% (в случае, который приведён здесь, $%n=12$%). Ищем такие константы $%k$% и $%b$%, для которых формула $%y=kx+b$% наилучшим образом отражает зависимость между $%x$% и $%y$%, то есть сумма квадратов отклонений является минимально возможной: $$F(k,b)=\sum\limits_{i=1}^n(kx_i+b-y_i)^2\to\min.$$ Находим частные производные функции $%F$% по переменным $%k$% и $%b$% и приравниваем их к нулю. Получается два линейных уравнения, связывающих $%k$% и $%b$%. Выглядят они так: $$k\sum x_i^2+b\sum x_i=\sum x_iy_i \\ k\sum x_i+bn=\sum y_i$$ (это система; суммирование везде идёт по $%i$% от $%1$% до $%n$%). Все коэффициенты системы вычисляются, и далее система решается. Для того примера, который имеется здесь, у меня получились значения $%k\approx0,142857564$% и $%b=5377,87344$% (я считал в Maple). По формуле $%y=kx+b$% с найденными коэффициентами, для отдельно указанного значения $%x=823439994$%, получается $%y\approx117640009$%.

ссылка

отвечен 25 Дек '13 9:30

не могли бы вы расписать "на пальцах": с конкретными приведенными значениями(четырьмя) - для того, чтоб формулы стали, немного понятней. Не подскажите, где онлайн можно произвести такие вычисления?

(25 Дек '13 11:07) biomirror

@biomirror: я готов разъяснить любые детали, но при этом я должен знать, чего именно Вы хотите. Количество значений тут никакой роли не играет, и понимать как раз проще для общего случая. Суть самого метода такова: у нас есть какие-то данные измерений, мы изображаем их на координатной плоскости в виде точек $%(x_i;y_i)$%. Оказывается, что точки расположены почти вдоль прямой. Тогда мы ищем уравнение прямой вида $%y=kx+b$%, наилучшим образом приближающее наши данные. Отклонения значений, получаемых по формуле, от данных измерения, могут иметь знак "плюс" или "минус" (продолжение следует)

(25 Дек '13 15:55) falcao

Чтобы они друг друга в этом случае не компенсировали, мы возводим эти числа в квадрат и суммируем. Для $%i$%-й точки получается как раз $%((kx_i+b)-y_i)^2$%. Если формула абсолютно точна, то все такие числа будут равны нулю, и сумма квадратов тоже. Считается, что чем она меньше, тем точнее наше приближение.

Обозначения здесь были такие: $%x_1=787706871$%, $%y_1=112538286$%, $%x_2=787709244$%, $%y_2=112535304$% и так далее по таблицам.

Если что-то ещё надо прояснить -- спрашивайте.

(25 Дек '13 15:59) falcao

А что делать, если b или k будут меньше 0? Их в формулу подставлять со знаком + ?

(25 Дек '13 23:07) biomirror

Этот случай никак не отличатся от общего. Вполне может быть так, что итоговая функция имеет вид типа $%y=-3x-7$%. Это совершенно ни на что не влияет. Убывающие функции вполне могут быть, и отрицательные значения -- тоже (например, градусы ниже нуля по Цельсию).

(25 Дек '13 23:26) falcao

У меня получилось, что если я вычисляю b, по первой формуле к∑х^2+b∑х... значение b получается отрицательным, если по второй формуле, то положительным, а значения к не изменяется - очень странно получается... Для большей понятности объясню, зачем мне это надо: У меня есть программа Соло на клавиатуре 5(я знаю, что есть 9 версия, но мне нужна именно 5). К ней прилагается список из серийного номера и ключа. У меня попалась версия, в которой ключа в списке к номеру нет. Необходимо его подобрать. http://rghost.ru/51210243 http://rghost.ru/private/51210276/142a6aef3cc9e57d2ed16f945848610b

(26 Дек '13 0:26) biomirror

Так быть не может, и по одной формуле никакое из значений вычислить нельзя. Это система из двух условий, которые связывают значения $%k$% и $%b$% между собой. Например, если бы было $%2k-3b=1$%, $%k+b=3$%, то надо выразить, например, $%b=3-k$% из второго уравнения и подставить в первое: $%2k-3(3-k)=1$%, то есть $%5k=10$%, $%k=2$%, $%b=3-2=1$%. Если решать таким способом, то всё находится однозначно. При желании, можно готовые явные формулы написать для нахождения $%k$% и $%b$%.

(26 Дек '13 1:39) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×17

задан
25 Дек '13 4:53

показан
1377 раз

обновлен
26 Дек '13 1:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru