Добрый день. Будьте добры, помогите решить(доказать) задачу: Единичный шар в пространстве C содержит всего 2 крайние точки: f(t)≡1; f(t)≡-1 и других крайних точек нет. ( 1≠(f1 + f2)/2 и -1≠(f1 + f2)/2 ; |f1|<1, |f2|<1 ) Доказать это.

задан 25 Дек '13 13:40

изменен 25 Дек '13 22:44

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Фактически, требуется доказать следующее: если функция $%f(t)$% по модулю не равна 1 тождественно, то она не крайняя, то есть является полусуммой каких-то других точек (функций) из того же множества. Действительно, если мы ограничим себя только непрерывными функциями с условием $%|f(t)|=1$%, то это будут в точности две функции $%f(t)=1$% и $%f(t)=-1$% (всюду). Это следует из того, что непрерывная функция, принимающая оба значения 1 и -1, принимает и все промежуточные значения, и тогда её модуль не будет тождественно равен 1.

Итак, возьмём какую-нибудь функцию $%f(t)$% из единичного шара (только пространство тут обозначается не $%C$%, а $%C[a;b]$% -- это множество всех функций, непрерывных (continuous) на отрезке $%[a;b]$%), для которой $%|f(t_0)|\ne1$% в некоторой точке $%t_0\in[a;b]$%. Покажем, как построить функции $%f_1$% и $%f_2$%, посередине между которыми находится $%f$%, причём $%f_1\ne f_2$%. Обе функции при этом берутся из единичного шара, и весь отрезок, их соединяющий -- тоже. Последнее, впрочем, следует из выпуклости этого шара.

Будем искать $%f_1$% и $%f_2$% в виде $%f_1=f+g$%, $%f_2=f-g$%, где $%g$% -- некоторая функция. Тогда полусумма, очевидно, будет равна $%f$%. Функция $%g$% должна быть непрерывной, и при этом обе функции $%f\pm g$% должны принадлежать шару. Чтобы $%f_1$% не совпало с $%f_2$%, функция $%g$% не должна быть тождественно нулевой.

Поскольку $%|f(t_0)| < 1$%, а функция непрерывна, существует некоторая $%\delta$%-окрестность точки $%t_0$% такая, что в пределах этой окрестности неравенство $%|f(t)| < 1$% будет выполняться для точек $%t\in[a;b]$% таких, что $%|t-t_0| < \delta$%. В самом деле, возьмём $%\varepsilon=(1-|f(t_0)|)/2$% и подберём для него $%\delta=\delta(\varepsilon)$% из определения непрерывной функции. Тогда $%|f(t)-f(t_0)| < \varepsilon$% для всех $%t$% из области определения с условием $%t\in[t_0-\delta;t_0+\delta]$%. Из неравенства треугольника тогда вытекает, что $%|f(t)|=|f(t)-f(t_0)+f(t_0)|\le|f(t)-f(t_0)|+|f(t_0)| < \varepsilon+|f(t_0)|=(1+|f(t_0)|)/2 < 1$%.

Теперь зададим функцию $%g$% так: пусть $%g(t)=0$% при $%t\le t_1=t_0-\delta$%, а также $%g(t)=0$% при $%t\ge t_2=t_0+\delta$%; в точке $%t_0$% выбираем значение $%g(t_0)=\varepsilon$%, а на отрезки $%[t_1;t_0]$% и $%[t_0;t_2]$% продолжаем функцию по линейности. Ясно, что построенная функция будет непрерывной и ненулевой. Задаём мы её на области определения $%[a;b]$%, беря ограничение на этот отрезок. Из построения следует, что $%0\le g(t)\le\varepsilon$% всюду, и тогда $%|f(t)\pm g(t)|\le|f(t)|+|g(t)|$%. Для $%t\notin[t_1;t_2]$% функции $%f\pm g$% совпадают с $%f$%, а при $%t\in[t_1;t_2]$% справедливо неравенство $%|f(t)| < \varepsilon+|f(t_0)|$%, как было установлено выше. Тогда $%|f(t)\pm g(t)|\le|f(t)|+|g(t)| < \varepsilon+|f(t_0)|+\varepsilon=1$%. Таким образом, обе функции $%f\pm g$% принадлежат единичному шару, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 25 Дек '13 15:39

Огромнейшее вам спасибо Виктор!!!

(25 Дек '13 16:00) storme
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×639

задан
25 Дек '13 13:40

показан
1672 раза

обновлен
25 Дек '13 16:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru