Из всех треугольников ABC с данным основанием AB и постоянной высотой CH найти треугольник около которого можно описать окружность наименьшего радиуса. Какое наименьшее значение принимает радиус описанной окружности, если AB=2с, CH=h?

задан 25 Дек '13 15:44

изменен 25 Дек '13 22:43

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

У окружности, построенной на $%AB$% как на диаметре, радиус равен $%c$%, и меньше он быть не может. Если при этом $%h\le c$%, то на окружности найдётся точка, удалённая от $%AB$% на расстояние $%h$%. Тогда минимальное значение радиуса равно $%c$%, а треугольник является прямоугольным.

Рассмотрим случай, когда $%h > c$%. Будем увеличивать радиус окружности, проходящей через точки $%A$% и $%B$%, пока окружность не пройдёт через точку $%C$% на расстоянии $%h$% от $%AB$%, где $%CA=CB$%. (Для всех окружностей меньшего радиуса расстояние от любой её точки до $%AB$% будет оставаться меньше $%h$%, как это было изначально.) Треугольник здесь будет равнобедренный, и осталось найти радиус описанной около него окружности, зная основание $%2c$% и и высоту $%h$%. Сделать это можно многими способами. Например, через формулу, согласно которой $%R$% равно отношению произведений сторон к учетверённой площади. Это даёт $%R=(h^2+c^2)/(2h)$%. К такому же выводу можно прийти через теорему синусов, выразив синус угла при вершине через тангенс половинного угла, равного $%c/h$%.

Разные формы ответа можно при желании записать единообразно, полагая $%R=\frac{m^2+c^2}{2m}$%, где $%m=\max(h,c)$%.

ссылка

отвечен 25 Дек '13 16:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,918

задан
25 Дек '13 15:44

показан
1221 раз

обновлен
25 Дек '13 16:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru