алгебра - Разложить дробь на простейшие

Многочлен $%x^4+4$% можно разложить на множители: $%x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$%. Поэтому над $%{\mathbb R}$% мы ищем разложение вида $$\frac{x^2}{x^4+4}=\frac{ax+b}{x^2-2x+2}+\frac{cx+d}{x^2+2x+2}.$$ После приведения к общему знаменателю и приравнивания числителей получается тождественное равенство $%x^2=(ax+b)(x^2+2x+2)+(cx+d)(x^2-2x+2)$%. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $%x$%, получаем 4 уравнения, из которых находим значения параметров.

Над полем $%{\mathbb C}$% надо найти корни квадратных уравнений. Для $%x^2-2x+2=0$% это будут $%x_{1,2}=1\pm i\sqrt3$%, поэтому дробь $%\frac1{x^2-2x+2}$% нужно дополнительно разложить как $%A/(x-x_1)+B/(x-x_2)$% тем же способом, где $%A$%, $%B$% -- неопределённые коэффициенты.