Решить систему $$(y+z)=(b+c)(1/x+1/y+1/z)\\\ (x+z)=(a+c)(1/x+1/y+1/z)\\\ (x+y)=(a+b)(1/x+1/y+1/z)$$ где $$b+c \neq 0; \ a+c \neq 0; \ a+b \neq 0$$

задан 26 Дек '13 18:23

10|600 символов нужно символов осталось
2

Сложим второе уравнение с третьим, вычтем первое и разделим на 2. Получится $%x=a(1/x+1/y+1/z)$%, и аналогично для симметричных случаев. Положим $%k=1/x+1/y+1/z$%. Нам известно, что $%x=ka$%, $%y=kb$%, $%z=kc$%. Поскольку $%x$%, $%y$%, $%z$% находятся в знаменателях, то они отличны от нуля, и тогда то же самое верно для $%k$%, $%a$%, $%b$%, $%c$%. Поэтому $%k=1/x+1/y+1/z=1/(ka)+1/(kb)+1/(kc)=(1/k)(1/a+1/b+1/c)$%, и $%k^2=1/a+1/b+1/c$%. В частности, $%1/a+1/b+1/c\ge0$% -- в противном случае решений нет. При условии неотрицательности имеем $%k=\pm\sqrt{1/a+1/b+1/c}$%, откуда сразу выражаются $%x$%, $%y$%, $%z$%. Имеет место два случая: $$x=a\sqrt{1/a+1/b+1/c},\qquad y=b\sqrt{1/a+1/b+1/c},\qquad z=c\sqrt{1/a+1/b+1/c}$$ или $$x=-a\sqrt{1/a+1/b+1/c},\qquad y=-b\sqrt{1/a+1/b+1/c},\qquad z=-c\sqrt{1/a+1/b+1/c}.$$ Эти числа, очевидно, подходят. Ограничения $%a+b\ne0$% и т.п., по сути дела, не нужны. Например, при $%a=1$%, $%b=-1$%, $%c=1$% решения есть, и находятся они по тем же формулам.

ссылка

отвечен 26 Дек '13 18:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×273

задан
26 Дек '13 18:23

показан
268 раз

обновлен
26 Дек '13 18:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru