геометрия - Найдите площадь сечения призмы плоскостью

Сначала построим само сечение. Проведём через точку $%C$% прямую, параллельную $%AD$%, до пересечения с прямой $%AB$% в точке $%E$%. Очевидно, что $%AD$% будет средней линией треугольника $%BCE$%, и $%EA=AB$%. Соединим точки $%E$% и $%B_1$% в плоскости боковой грани $%ABB_1A_1$%, обозначая через $%A'$% точку пересечения этой прямой с ребром $%AA_1$%. Ясно, что $%A'$% будет серединой этого ребра, а треугольник $%CB_1A'$% -- сечением из условия задачи.

Прямая $%AD$% параллельна плоскости сечения, и расстояния до этой плоскости у точек $%A$% и $%D$% одинаковы. Ввиду того, что $%D$% есть середина $%BC$%, расстояние от точки $%B$% до плоскости сечения будет вдвое больше, и оно равно $%12/5$%. Опустим из точки $%B$% перпендикуляр на прямую $%CB_1$% с основанием $%H$%. Утверждается, что это перпендикуляр к плоскости сечения, поэтому $%BH=12/5$%. Действительно, $%BH$% перпендикулярна как $%CB_1$%, так и прямой $%AD$%, параллельной плоскости сечения. Последнее вытекает из того, что $%AD$% перпендикулярна боковой грани $%CBB_1C_1$%.

Теперь рассмотрим эту грань и её диагональ $%CB_1$%, на которую мы опустили перпендикуляр $%BH$%. По теореме Пифагора, $%CH^2=BC^2-BH^2=3^2-(12/5)^2=3^2(1-(4/5)^2)$%, откуда $%CH=9/5$%. Из подобия прямоугольных треугольников имеем $%BB_1:BC=BH:CH=4:3$%, откуда $%BB_1=4$% ввиду $%BC=3$%. Тем самым, мы нашли высоту призмы, а площадь боковой поверхности равна её произведению на периметр основания. Поэтому периметр равен $%32/4=8$%, и боковые стороны имеют длину $%5/2$%. По теореме Пифагора находим $%AD=2$% и $%CB_1=5$%. Теперь осталось заметить, что $%A'D'DA$% -- прямоугольник, где через $%D'$% мы обозначили середину $%CB_1$%. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором $%A'D'=AD=2$% высота, а основание $%CB_1=5$%. Поэтому площадь равна $%5$%.