теория-вероятностей - Найти распределение случайной величины

а) Найдём функцию распределения $%F(a)$% для суммы квадратов двух независимых стардартно распределённых нормальных величин. По определению, $%F(a)=P\{X^2+Y^2\le a\}$%. Ясно, что $%F(a)=0$% при $%a < 0$%. Положим $%a\ge0$%. Тогда $%F(a)$% равно интегралу по области $%x^2+y^2\le a$% от произведения плотностей $%p(x)p(y)$%, то есть $$F(a)=\frac1{2\pi}\iint\limits_{x^2+y^2\le a}e^{-(x^2+y^2)/2}dx\,dy.$$ Перейдём к полярным координатам. Якобиан замены равен $%r$% получится $$F(a)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{\pi}d\varphi\int\limits_0^\sqrt{a}e^{-r^2/2}r\,dr=\int\limits_0^\sqrt{a}e^{-r^2/2}r\,dr=1-e^{-a/2}.$$ Находим производную, и получаем плотность распределения $%p(a)=\frac12e^{-a/2}$% при $%a\ge0$% (при $%a < 0$% плотность нулевая. Это экспоненциальное распределение с параметром $%1/2$%. Оно же, по определению, есть частный случай хи-квадрат распределения для $%k=2$% слагаемых.

б) Функция распределения здесь равна $%P\{\sqrt{X^2+Y^2}\le a\}=P\{X^2+Y^2\le a^2\}=F(a^2)=1-e^{-a^2/2}$% для $%a\ge0$%. Плотность равна $%ae^{-a^2/2}$% для $%a\ge0$% и нулю для $%a < 0$%. Это частный случай хи-распределения.