Помогите, пожалуйста, с задачей: Пусть х и у - независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. Найти распределение случайной величины

а) х^2 + y^2

б) sqrt(х^2 + y^2)

задан 27 Дек '13 22:24

перемечен 3 Янв '14 2:06

trongsund's gravatar image


3.2k113

10|600 символов нужно символов осталось
3

а) Найдём функцию распределения $%F(a)$% для суммы квадратов двух независимых стардартно распределённых нормальных величин. По определению, $%F(a)=P\{X^2+Y^2\le a\}$%. Ясно, что $%F(a)=0$% при $%a < 0$%. Положим $%a\ge0$%. Тогда $%F(a)$% равно интегралу по области $%x^2+y^2\le a$% от произведения плотностей $%p(x)p(y)$%, то есть $$F(a)=\frac1{2\pi}\iint\limits_{x^2+y^2\le a}e^{-(x^2+y^2)/2}dx\,dy.$$ Перейдём к полярным координатам. Якобиан замены равен $%r$% получится $$F(a)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{\pi}d\varphi\int\limits_0^\sqrt{a}e^{-r^2/2}r\,dr=\int\limits_0^\sqrt{a}e^{-r^2/2}r\,dr=1-e^{-a/2}.$$ Находим производную, и получаем плотность распределения $%p(a)=\frac12e^{-a/2}$% при $%a\ge0$% (при $%a < 0$% плотность нулевая. Это экспоненциальное распределение с параметром $%1/2$%. Оно же, по определению, есть частный случай хи-квадрат распределения для $%k=2$% слагаемых.

б) Функция распределения здесь равна $%P\{\sqrt{X^2+Y^2}\le a\}=P\{X^2+Y^2\le a^2\}=F(a^2)=1-e^{-a^2/2}$% для $%a\ge0$%. Плотность равна $%ae^{-a^2/2}$% для $%a\ge0$% и нулю для $%a < 0$%. Это частный случай хи-распределения.

ссылка

отвечен 27 Дек '13 23:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,958
×176

задан
27 Дек '13 22:24

показан
3383 раза

обновлен
3 Янв '14 2:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru