2
1

На доске написаны все натуральные числа от 1 до N. За одну операцию любые два написанных числа заменяют на сумму цифр их суммы. В результате N-1 таких операций на доске осталось одно число. Может ли оно равняться P/2+1, где P есть некоторый примориал?

(С. Берлов, переработка А. Магницкой)

задан 28 Дек '13 3:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

При операции сохраняется остаток от деления суммы чисел на 9. Легко проверяется, что у треугольного числа, то есть у $%1+2+\cdots+N=N(N+1)/2$%, остаток от деления на 9 может принимать значения 0, 1, 3, 6, и никакие другие. В то же время легко заметить, что если $%P=p_1p_2\ldots p_m$% -- произведение $%m$% самых первых простых чисел, то $%P/2$% кратно 3 и не кратно 9, то есть остаток от деления на 9 здесь равен 3 или 6. Прибавляя 1, мы получим 4 или 7, откуда следует несовпадение.

ссылка

отвечен 28 Дек '13 3:22

1

Одно маленькое замечание. Вы забыли, что число 2 -- это тоже примориал. Хотя, ответ от этого не меняется. Спасибо!

(28 Дек '13 3:24) Алёнка Магни...

Точно! Спасибо за поправку -- конечно, этот случай надо было обязательно упомянуть. Я обычно стараюсь все "вырожденные" случаи учитывать, и тут даже мысленно рассмотрел случай "пустого произведения" (для $%m=0$%), заметив, что $%P/2$% тут не будет целым, а следующий за ним упустил.

Раз уж зашла речь об этих числах, то хочу спросить: известно ли Вам доказательство того, что число $%2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1$% составное, основанное только на простом устном счёте? Это, конечно, не задача, а лишь забавный пример.

(28 Дек '13 3:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114

задан
28 Дек '13 3:00

показан
557 раз

обновлен
28 Дек '13 3:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru