Найдите все значения параметра а, при которых выполняется неравенство ax2-4x+a+3>0 для всех х>0

задан 28 Дек '13 14:21

изменен 28 Дек '13 23:58

Deleted's gravatar image


126

Вот здесь Вами был задан тот же самый вопрос, и там двое ответили. Зачем спрашивать то же самое снова?

(28 Дек '13 14:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

этот вопрос уже был задан (см здесь)

Вот мое решение (может, слишком полное и тут что-то лишнее): Пусть $%f(x)=ax^{2}-4x+a+3$%, $%f(x)$% — парабола, направление ветвей которой зависит от a, и дискриминант ($%D$%) $%f(x)$% равен $%4(-a2-3a+4)$%, теперь рассмотрим три случая: $%D>0: 4(-a2-3a+4)>0 → -a2-3a+4>0 → a∈(-4;1)$% так же парабола должна пересекать ось Х в точках, абсцисса каждой из которых должна быть меньше или равна нулю, чтобы каждому последующему значению х (в том числе и каждому положительному) соответствовало положительное значение y, то есть $%x_{1,2}≤0:$% Решим неравенства методом интервалов: $%\frac{2−\sqrt{- a2−3a+4}}{a}⩽0 и \frac{2+\sqrt{- a2−3a+4}}{a}⩽0$% ОДЗ: $%a≠0$%

$%2^{2}= \frac{(\sqrt{- a2−3a+4})}{2}$% и $%2^{2}= \frac{(−\sqrt{- a2−3a+4})}{2}$%

$%4=-a2-3a+4$%

$%4+a2+3a-4=0$%

$%a2+3a=0$%

$%a(a+3)=0$%

$%a=0$% (по ОДЗ) или $%a=-3$%, нанеся точки на прямые получаем для $%x_{1}: a∈[-3;0)\cup(0;+∞)$%, для $%x_{2}: a∈(0;+∞)$% Совместив все промежутки значений а, получаем: $%a∈[0;1)\cup(1;+∞)$% (для $%D>0$%) $%D<0$%: парабола не будет пересекать ось X, → $%f(x)>0$% при всех $%x>0$% только тогда, когда $%a>0$%, то есть ветви параболы направлены вверх; $%D=0: a_{1,2}=-4;1$% Так же следует заметить, что a≠0, так как тогда график параболы преобразуется в график прямой ($%f(x)=3-4x$%), которая составляет тупой угол и пересекает ось X в точке с абсциссой $%3$%, то есть есть положительные значения x, при которых $%f(x)<0$%; Объединив эти промежутки и точки получаем, что $%a>1$% — это и есть все допустимые значения параметра $%а$%

Ответ: $%(1;+∞)$%

ссылка

отвечен 28 Дек '13 14:40

изменен 28 Дек '13 15:48

@falcao: этот вопрос был задан мной, а этот аккаунт другой (у меня 1771), просто совпадение, наверное.

(28 Дек '13 14:43) kirill1771

Ответ $%a > 1$% верный, но можно решить намного короче. Очевидно, что $%a > 0$%. Поэтому вершина параболы имеет положительную абсциссу $%2/a$%. Подставляем это значение, и требуем положительности. Это необходимое и достаточное условие. Получается неравенство $%a+3 > 4/a$%; оно означает $%(a-1)(a+4)/a > 0$%, то есть $%a > 1$% с учётом предыдущего.

(28 Дек '13 14:50) falcao

@falcao: (извините за глупый вопрос), а как понять "требуем положительности"?

(28 Дек '13 15:50) kirill1771

@kirill1771: это значит, что мы рассматриваем неравенство $%f(2/a) > 0$%. Такое условие, которое само по себе выполняться не обязано, считается "требованием". То есть мы как бы "требуем" от $%a$%, чтобы оно этому условию удовлетворяло. Логика здесь такая, что если $%f(x) > 0$% для всех $%x > 0$%, то и $%f(2/a) > 0$%, то есть это необходимо. Оно же и достаточно, так как в вершине достигается наименьшее значение, и если оно положительно, то и все остальные значения положительны.

(28 Дек '13 18:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×460
×251

задан
28 Дек '13 14:21

показан
2508 раз

обновлен
28 Дек '13 18:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru