Медианы AL И BM треугольника ABC пересекаются в точке К. Найдите длину отрезка CK, если AB=корень из 3, а вокруг KMCL можно описать окружность.

В интернете я ее не нашла, а у самой не получает, тупик. Помогите, пожалуйста, хочется разобраться в решении.

задан 28 Дек '13 20:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Воспользуемся свойством секущих, проведённых из одной точки: $%AK\cdot AL=AM\cdot AC$%, то есть $%2m_a^2/3=b^2/2$%. Аналогично, $%2m_b^2/3=a^2/2$%. Пользуясь формулами для квадратов длин медиан, $$m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}4,\qquad m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}4,$$ приходим к равенствам $%a^2=(2b^2+2c^2-a^2)/3$% и $%b^2=(2a^2+2c^2-b^2)/3$%, откуда $%a^2+b^2=2c^2$%. Следовательно, $%m_c^2=(2a^2+2b^2-c^2)/4=3c^2/4$%, то есть $%m_c=\sqrt3c/2$%, и тогда $%CK=2m_c/3=\sqrt3c/3=1$%.

Свойством из условия задачи обладает, в частности, правильный треугольник, где соотношение как раз такое.

ссылка

отвечен 28 Дек '13 21:09

Спасибо, я поняла. Мне еще работать и работать. А формула медианы тоже приходила в голову, но ее было недостаточно, а пропорции секущих я не увидела. Все-таки непростая задача, особенно, для обычных школьников, которые о такой формуле и не знают.

(28 Дек '13 21:25) Doctrina

Поскольку в условии были длины медиан, то сразу возникла идея воспользоваться метрическими соображениями. В этом случае, конечно, напрашивается использование соотношения между длинами секущих. Рассмотрение вписанных углов тоже возможно, но непонятно, как им воспользоваться.

У меня эти соображения возникли сразу по прочтении условия, но потом при подсчёте я получил $%a^2+b^2=c^2$%. Нарисовал картинку -- что-то явно не то: у вписанного четырёхугольника прямой угол противолежит тупому! Стал искать ошибку; обнаружилось, что двойку потерял.

(28 Дек '13 21:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,396

задан
28 Дек '13 20:41

показан
655 раз

обновлен
28 Дек '13 21:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru