егэ - C6: S(n) - наибольшее натуральное число с определенным свойством

а) Предположим, что при $%n\ge4$% возможно представление вида $%n^2=n_1^2+\cdots+n_k^2$%, где $%k=n^2-13$%. Вычтем по 1 из каждого слагаемого правой части. Тогда $%13$% становится суммой чисел вида $%m^2-1$%, то есть чисел множества $%M=\{0;3;8;15;\ldots\}$%. Нули можно не учитывать, числа 16 и более -- тоже; число 8 встречается не более одного раза. Но ни 13, ни 13-8 не кратно трём, откуда следует невозможность такого представления.

б) Подходит число $%n=13$%. Это означает, что 169 можно представить как сумму квадратов $%k$% натуральных чисел при любом $%k$% от 1 до 155. Заметим для начала, что все числа, начиная с 14, представимы в виде суммы слагаемых из $%M$%. Действительно, $%14=8+3+3$%; $%15\in M$%; $%16=8+8$%, а для чисел $%s\ge17$% задача сводится к представлению числа $%s-3$%. Если удалось представить $%s$% в виде $%(n_1^2-1)+\cdots+(n_t^2-1)$%, где $%t$% не очень велико, то есть $%t\le n^2-s$%, то $%n^2=n_1^2+\cdots+n_t^2+1^2+\cdots+1^2$%, где $%1^2$% встречается $%n^2-s-t$% раз, и тогда $%n^2$% удаётся представить в виде суммы $%n^2-s$% квадратов. Такой приём работает для достаточно больших значений $%s$%. Для "малых" значений проверка может быть произведена непосредственно: $%169=13^2=12^2+5^2=12^2+4^2+3^2=10^2+8^2+2^2+1^2$% и так далее. Чтобы получить 5 слагаемых, можно в сумме $%12^2+5^2$% первое слагаемое "расщепить" на 4 слагаемых, равных $%6^2$%, и так далее. Эту проверку, видимо, можно сделать какой-то более чёткой и короткой, но сам факт так или иначе верен.

в) Докажем, что если $%n$% удовлетворяет условию, то $%2n$% тоже удовлетворяет. Отсюда будет следовать бесконечность соответствующего множества. Поскольку $%4n^2=n^2+n^2+n^2+n^2$%, и каждое слагаемое можно записать в виде суммы любого числа квадратов от 1 до $%n^2-14$%, отсюда вытекает возможность представить $%4n^2$% в виде суммы квадратов с любым числом слагаемых от 4 до $%4n^2-56$%. Для количества слагаемых от 1 до 3 нужное представление получается из записи $%n^2$% в таком виде и умножения слагаемых на 4. Для числа слагаемых между $%4n^2-55$% и $%4n^2-14$% поступаем так: берём $%3n^2$% слагаемых, равных $%1^2$%, а оставшееся $%n^2$% представляем в виде суммы заданного числа слагаемых вплоть до $%n^2-14$%. Таким образом оказывается покрыт весь "диапазон".