Плоскость a проходит через прямую:

$$x=2+5t$$$$y=3+t$$$$z=-1+2t$$

перпендикулярно плоскости $%x+4y-3z+7=0$%. Прямая AB проходит через точку A(1,2,-1) перпендикулярно прямым $$\frac{x-8}{1}=\frac{y+7}{2}=\frac{z}{4}$$$$\frac{x-2}{2}=\frac{y-5}{3}=\frac{z+11}{5}$$. Найти точку пересечения прямой AB и плоскости a

задан 29 Дек '13 18:42

изменен 23 Янв '14 11:50

10|600 символов нужно символов осталось
0

Вот "пошаговая" инструкция.

Находим уравнение плоскости $%\alpha$% в виде $%Ax+By+Cz=D$%. Сначала подставляем координаты прямой, выраженные через $%t$% и приравниваем к нулю коэффициент при $%t$%, а также свободный член. Это даёт два уравнения. Перпендикулярность плоскостей означает, что $%A+4B-3C=0$% (скалярное произведение векторов нормали равно нулю). Получается система из трёх уравнений; решаем её и находим уравнение плоскости.

Теперь ищем направляющий вектор прямой $%AB$%. Обозначаем его координаты какими-нибудь переменными и записываем два условия: скалярное произведение этого вектора на направляющий вектор каждой из двух прямых (это числа в знаменателях канонических уравнений) равна нулю. Зная этот направляющий вектор и координаты точки $%A$%, выписываем параметрическое уравнение прямой, где координаты зависят от параметра. Подставляем их в уравнение плоскости $%\alpha$% и находим значение параметра. Через него у нас выражены координаты. Это и будет ответ.

ссылка

отвечен 29 Дек '13 20:07

Огромное спасибо! С первой частью все понятно, уравнение плоскости нашлось, но вот со второй возникли вопросы, а в частности я так и не понял что делать со скалярным произведением неизвестного направляющего вектора прямой АВ и напр. векторами каждой из прямых. Для первой прямой, например, получилось вот что: l=(x-1)/t; m=(y-2)/2t; n=(y+1)/4t А что делать с этим дальше я не понимаю

(30 Дек '13 6:13) albertkovach
1

У прямой, заданной каноническим уравнением, координаты направляющего вектора написаны снизу, то есть в знаменателях. У первой из прямых направляющим вектором будет $%(1;2;4)$%. И если Вы ищете в этот момент вектор $%(a;b;c)$%, то надо составить уравнение $%a+2b+4c=0$%. Аналогично для второй прямой. Получится система, и её надо решить с точностью до постоянного множителя.

(30 Дек '13 8:37) falcao

@falcao, так как у нас два уравнения и три переменных, получается что мы не можем найти значения, а только выразить две переменные через третью. Получается $%A=2C$%, $%B=-3C$%, $%C=C$%.Дальше составляем параметрическое уравнение прямой, для этого я сложил координаты точки $%A$% с координатами направляющего вектора умноженные на $%t$%.Получил три равенства, дающие параметрическое уравнение прямой $%x=1+2t$%, $%y=2-3t$%, $%z=-1+t$%.Дальше я подставляю это в найденное уравнение плоскости $%\alpha$% $%-11x+17y+19z-10=0$%, откуда получил, что $%-76t=6$%, значение параметра получается очень странное

(27 Янв '14 1:18) albertkovach

@falcao, я где-то допустил ошибку?

(27 Янв '14 1:19) albertkovach

@albertkovach: то, что числа выражаются через одно, это так и должно быть. Всё остальное правильно, кроме коэффициента при t. Он равен -22-51+19=-54, то есть t=-1/9.

(27 Янв '14 2:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516
×1,329

задан
29 Дек '13 18:42

показан
1055 раз

обновлен
27 Янв '14 2:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru