2
1

$%f $% на числовой оси бесконечно дифференцируема и $%|f^{n}(x)- f^{n-1}(x)|<1/n^2$%. Как доказать, что $%\lim_{n\rightarrow \infty }{f^{(n)}(x)}=Ce^x$% ( $%{f^{(n)}(x)}$% - n-я производная, а C-постоянная).

задан 17 Мар '12 14:22

изменен 17 Мар '12 16:56

10|600 символов нужно символов осталось
2

из $%\left | {f^{(n)}(x)}- {f^{(n+1)}(x)} \right |<1/n^2$% следует что $%{f^{(n)}(x)}$% сходится равномерно обозначим $% \lim_{n\rightarrow \infty }{f^{(n)}(x)} =F(x)$% тогда $%{f^{(n+1)}(x)}$% стремится равномерно к $%F'(x)$% ( но т.к $% \lim_{n\rightarrow \infty } {f^{(n)}(x)}=\lim_{n\rightarrow \infty }{f^{(n+1)}(x)}$%) $%\Rightarrow $% $%F(x)=F'(x)$% $%\Rightarrow $% $%1=F'(x)/F(x)$% но $%(lnF(x))'=F'(x)/F(x)$% то есть $%(lnF(x))'=1$% $%\Rightarrow $% $% lnF(x)=x+c $% $%\Rightarrow $% $%F(x)=Ce^x$% что и требовалось доказать

ссылка

отвечен 17 Мар '12 14:25

изменен 17 Мар '12 17:03

1

Может, не стоит давать полное решение на такие задания? См. в правилах форума учебное задание. Диф. уравнение человек мог бы решить и сам...

(17 Мар '12 23:49) DocentI
1

Это не дифур.

(18 Мар '12 0:18) Азат
1

2 если человек смог бы решить, то вопрос не задавал бы.

(18 Мар '12 0:28) Азат
1

Ну мало кто чего хочет! Есть правила форума, ссылку дала выше. Последняя часть вашего решения (после равенства F(x)=F′(x)) это именно дифференциальное уравнение, причем простейшее. Если человек не может этого решить сам, то говорить ему про равномерную сходимость - бесполезно. Не хотелось бы превращать форум в "решебник" для слабых студентов!

(18 Мар '12 0:31) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×565
×346

задан
17 Мар '12 14:22

показан
970 раз

обновлен
18 Мар '12 20:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru