|
$%f $% на числовой оси бесконечно дифференцируема и $%|f^{n}(x)- f^{n-1}(x)|<1/n^2$%. Как доказать, что $%\lim_{n\rightarrow \infty }{f^{(n)}(x)}=Ce^x$% ( $%{f^{(n)}(x)}$% - n-я производная, а C-постоянная). задан 17 Мар '12 14:22 
Karen |
|
из $%\left | {f^{(n)}(x)}- {f^{(n+1)}(x)} \right |<1/n^2$% следует что $%{f^{(n)}(x)}$% сходится равномерно обозначим $% \lim_{n\rightarrow \infty }{f^{(n)}(x)} =F(x)$% тогда $%{f^{(n+1)}(x)}$% стремится равномерно к $%F'(x)$% ( но т.к $% \lim_{n\rightarrow \infty } {f^{(n)}(x)}=\lim_{n\rightarrow \infty }{f^{(n+1)}(x)}$%) $%\Rightarrow $% $%F(x)=F'(x)$% $%\Rightarrow $% $%1=F'(x)/F(x)$% но $%(lnF(x))'=F'(x)/F(x)$% то есть $%(lnF(x))'=1$% $%\Rightarrow $% $% lnF(x)=x+c $% $%\Rightarrow $% $%F(x)=Ce^x$% что и требовалось доказать отвечен 17 Мар '12 14:25 
Азат 1
Может, не стоит давать полное решение на такие задания? См. в правилах форума учебное задание. Диф. уравнение человек мог бы решить и сам...
(17 Мар '12 23:49)
DocentI
1
Ну мало кто чего хочет! Есть правила форума, ссылку дала выше. Последняя часть вашего решения (после равенства F(x)=F′(x)) это именно дифференциальное уравнение, причем простейшее. Если человек не может этого решить сам, то говорить ему про равномерную сходимость - бесполезно. Не хотелось бы превращать форум в "решебник" для слабых студентов!
(18 Мар '12 0:31)
DocentI
|