Площадь проекции прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 с параллелограммом ABCD в основании на плоскость, перпендикулярную ее диагонали AC1, равна √89. Чему будет равна площадь проекции параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали BD1, если AA1=8, AC=6, BD=5?

задан 30 Дек '13 10:26

изменен 11 Апр '14 19:55

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
3

Эта задача тоже была на форуме не один раз, но полное решение не приводилось.

Здесь по теореме Пифагора можно сначала найти $%AC_1=10$% и $%BD_1=\sqrt{89}$%. Далее надо заметить, что при проектировании призмы на первую из плоскостей (перпендикулярную $%AC_1$%) получается объединение трёх параллелограммов. Каждый из них есть проекция одной из граней. При таком проектировании площадь грани умножается на косинус угла между плоскостями. А этот угол равен углу между перпендикулярами к плоскостям. Посмотрим, чему будет равен этот косинус угла для грани $%A_1B_1C_1D_1$%. Угол между перпендикулярами равен $%\angle A_1AC_1$%, и косинус этого угла равен $%AA_1:AC_1=8:10$%. Теперь посмотрим, что происходит с этой же гранью при проектировании в другом направлении, то есть перпендикулярно $%BD_1$%. Там возникает угол $%BD_1D$%, и его косинус равен $%DD_1:BD_1=8:\sqrt{89}$%.

Далее рассматриваем две остальные грани и сравниваем косинусы углов для первого и второго проектирования. Нетрудно проверить, что косинусы углов там в одном случае получаются $%AB:10$% и $%AB:\sqrt{89}$% соответственно, а в другом они равны $%BC:10$% и $%BC:\sqrt{89}$%. Длины сторон параллелограмма при этом находить не надо: во всех случаях отношение косинусов углов одинаково, а площади проектируемых граней одни и те же. При первом проектировании получается площадь $%S\cos\varphi_1=\sqrt{89}$%, где $%S$% -- сумма площадей трёх граней. Во втором случае получается площадь проекции $%S\cos\varphi_2$%, и мы знаем, что $%\cos\varphi_1:\cos\varphi_2=(8:10):(8:\sqrt{89})=\sqrt{89}:10$%. Из этого сразу следует, что искомая площадь проекции $%S\cos\varphi_2$% равна $%10$%.

ссылка

отвечен 30 Дек '13 12:39

@falcao,а для случая, AC1=√65, AA1=4, AC=3, BD=7 площадь проекции параллелепипеда на плоскость равна 58?

(1 Янв '14 14:16) IvanLife

@IvanLife: это абсолютно аналогичная задача. Решение получается заменой одних чисел на другие.

(1 Янв '14 16:42) falcao

@falcao,да, совершенно аналогичная, на я хочу узнать правильно ли я решил. мой ответ:58.

(1 Янв '14 18:04) IvanLife

@IvanLife: у меня нет перед глазами полного условия Вашей задачи. Бывает так, что в аналогичных примерах как-то заменяются буквы. И число $%\sqrt{65}$% -- это не длина диагонали $%AC_1$%, судя по всему, а площадь проекции. На первый взгляд, там все буквы имеют аналогичное назначение, то должно получиться не 58, а 5. Ведь 10 у меня получилось как $%\sqrt{AA_1^2+AC^2}$%, и вообще 58 могло возникнуть только под корнем, а не само по себе.

(1 Янв '14 19:02) falcao

да, я ошибся, это проекция...

(2 Янв '14 6:13) IvanLife

ответ 5, я правильно посчитал?

(2 Янв '14 19:30) nastena6938

@Эндрю: Вы про какое из условий говорите? В том, что в тексте основного вопроса, там получается 10. А если это о той версии с другими числами, которая обсуждалась в комментариях, то там вроде бы 5 выходит.

Вообще, я за то, чтобы обсуждать способы решения задач, а не ответы и не подстановку чисел в готовые формулы. Первое -- интересно (даже если речь о чём-то вполне элементарном), а второе -- не очень.

(2 Янв '14 19:47) falcao

да,я тоже с вами полностью согласен!

(2 Янв '14 23:34) nastena6938

немного не понятно откуда следует, что площадь равна 10, не могли бы вы пояснить?

(19 Янв '14 23:06) astmix

@astmix: посмотрите на числа, упоминаемые в конце. Там есть два числа вида $%S\cos\varphi_i$%. Одно из них известно, а второе надо найти. Отношение косинусов там найдено. Отсюда всё следует число арифметически.

(19 Янв '14 23:45) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) вот здесь описание схожей ситуации на адекватном языке http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=34954 причем без сложного чертежа

2) хорошо бы завершить обсуждение решением в общем виде, например, так $$AA_1 = c; AC = a; BD = b; S_a - дано; AC_1 = sqrt(a^2+c^2); BD_1 = sqrt(b^2+c^2);$$ $$3V = (S_b)sqrt(b^2+c^2) = (S_a)sqrt(a^2+c^2)$$ кажется, так (для куба во всяком случае это верно, в общем случае тоже, скорее всего - линейные преобразования) $$S_b = S_a*(sqrt(a^2+c^2)/sqrt(b^2+c^2))$$

и получайте сразу все ответы...

ссылка

отвечен 7 Янв '14 17:32

изменен 11 Апр '14 19:54

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@sLvr: там есть одно довольно ценное соображение, которое многие рассмотрения упрощает. А именно, переход от шестиугольника к треугольнику. При этом становится намного проще следить за величинами.

(7 Янв '14 17:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

"Нетрудно проверить, что косинусы углов там в одном случае получаются AB:10 и AB:√89 соответственно,а в другом они равны BC:10 и BC:√89" Поясните,пожалуйста ,из каких прямоугольных треугольников косинусы?

ссылка

отвечен 11 Янв '14 19:57

@Daniil989: там из контекста должно быть ясно, какие углы надо рассматривать. Это углы между плоскостями, но их труднее отслеживать, поэтому берутся углы между перпендикулярами к плоскостям. Надо увидеть эти линии на чертеже и посмотреть, каким прямоугольным треугольникам принадлежат углы. Тогда станет ясно, какие отношения отрезков надо брать, и почему они именно такие.

(11 Янв '14 22:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×306

задан
30 Дек '13 10:26

показан
2922 раза

обновлен
7 Фев '14 1:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru