уравнение - Система уравнений с параметром

Прежде всего, здесь сразу можно сделать замену $%t=\log_2x-6$% и говорить об уравнении $%|a|^t=t$%. Оно имеет столько же решений относительно $%t$%, сколько их имеет исходное уравнение относительно $%x$%. Связь между решениями прямая: $%x=2^{t+6}$%, и разным $%t$% соответствуют разные $%x$%.

Случай $%a=0$% явно не подходит. При $%|a| < 1$% получается равенство функций, где одна убывает, а вторая возрастает. Решение при этом всего одно.

Пусть $%|a| > 1$%. На графиках можно увидеть, что должно происходить: при очень больших значениях $%|a|$% график экспоненты будет всюду больше графика тождественной функции. Поэтому имеет смысл найти сначала "критическое" значение $%|a|$%, для которого графики касаются в некоторой точке $%t$%. При этом наблюдается как равенство значений функций: $%|a|^t=t$%, так и равенство производных: $%|a|^t\ln|a|=1$%. Отсюда однозначно выражается $%t=1/\ln|a|$%, и из первого уравнения $%t=|a|^{1/\ln|a|}=e$%. Таким образом, $%\ln|a|=1/e$%, и $%|a|=e^{1/e}$%, что составляет примерно $%1,444...$%.

Теперь из графических соображений, а также из соображений монотонности становится ясно, что при $%|a| > e^{1/e}$% уравнение $%|a|^t=t$% решений иметь не будет, а при $%1 < |a| < e^{1/e}$% решений будет ровно два. Обосновывается это так: при $%t=0$% имеет место неравенство $%|a|^t > t$%; при $%t=e$% неравенство имеет место уже в обратную сторону, а при достаточно больших $%t$% экспонента опережает линейную функцию. Отсюда следует, что по крайней мере два решения найдутся. То, что их будет не больше, следует из соображений выпуклости, как и в решении предыдущего примера по ссылке.

Ответом, стало быть, будет множество всех $%a$%, для которых $%1 < |a| < e^{1/e}$%.