Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
$$|a|^{log_2 x-6}=log_2x-6$$имеет ровно два решения.

задан 31 Дек '13 1:06

изменен 26 Апр '14 14:56

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
3

Прежде всего, здесь сразу можно сделать замену $%t=\log_2x-6$% и говорить об уравнении $%|a|^t=t$%. Оно имеет столько же решений относительно $%t$%, сколько их имеет исходное уравнение относительно $%x$%. Связь между решениями прямая: $%x=2^{t+6}$%, и разным $%t$% соответствуют разные $%x$%.

Случай $%a=0$% явно не подходит. При $%|a| < 1$% получается равенство функций, где одна убывает, а вторая возрастает. Решение при этом всего одно.

Пусть $%|a| > 1$%. На графиках можно увидеть, что должно происходить: при очень больших значениях $%|a|$% график экспоненты будет всюду больше графика тождественной функции. Поэтому имеет смысл найти сначала "критическое" значение $%|a|$%, для которого графики касаются в некоторой точке $%t$%. При этом наблюдается как равенство значений функций: $%|a|^t=t$%, так и равенство производных: $%|a|^t\ln|a|=1$%. Отсюда однозначно выражается $%t=1/\ln|a|$%, и из первого уравнения $%t=|a|^{1/\ln|a|}=e$%. Таким образом, $%\ln|a|=1/e$%, и $%|a|=e^{1/e}$%, что составляет примерно $%1,444...$%.

Теперь из графических соображений, а также из соображений монотонности становится ясно, что при $%|a| > e^{1/e}$% уравнение $%|a|^t=t$% решений иметь не будет, а при $%1 < |a| < e^{1/e}$% решений будет ровно два. Обосновывается это так: при $%t=0$% имеет место неравенство $%|a|^t > t$%; при $%t=e$% неравенство имеет место уже в обратную сторону, а при достаточно больших $%t$% экспонента опережает линейную функцию. Отсюда следует, что по крайней мере два решения найдутся. То, что их будет не больше, следует из соображений выпуклости, как и в решении предыдущего примера по ссылке.

Ответом, стало быть, будет множество всех $%a$%, для которых $%1 < |a| < e^{1/e}$%.

ссылка

отвечен 31 Дек '13 5:04

@falcao, спасибо большое за ответ. У меня маленький вопрос. Вы пишете: ...из первого уравнения $$t=|a|^{1/ln|a|}=e$$ По-моему там должно быть $$t=|a|^{1/ln|a|}=1/e$$

(31 Дек '13 12:45) Uchenitsa

@Uchenitsa: почему так? Ведь если записать тождество $%|a|=e^{\ln|a|}$%, то после возведения в степень $%1/\ln|a|$% и получится как раз $%e$%.

(31 Дек '13 12:52) falcao

@falcao, да, спасибо) разобралась) У Вас все верно!

(31 Дек '13 13:34) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×597
×515
×306
×251
×250

задан
31 Дек '13 1:06

показан
999 раз

обновлен
31 Дек '13 13:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru