Добрый день, недавно изучал модель Диксита-Стиглица-Кругмана (экономическая модель) наткнулся на определённый интеграл следующего вида:
$$\int_{i \in N} [q(i)]^{\frac{\sigma -1}\sigma}di$$
где:
* q(i) - некоторая функция спроса на товар i, зависящая от цен
* $\Sigma$ - константа
* N - множество всех товаров

Не понимаю, что значит интегрирование по индексу i
В модели Диксита-Стиглица, рассматривался дискретный случай, то есть сумма по данному индексу, Кругман перешёл к непрерывному случаю, но не понимаю, что подразумевает данная выкладка, потому что в оригинальной работе я пояснений не видел. Учитывая, что за создание этой модели Кругман был удостоен нобелевской премии, поэтому полагаю, что данный аспект имеет математическое объяснение.
Буду благодарен, если кто-нибудь расскажет, что это означает математически (интегрирование по индексу и переход к интегрированию по индексу от дискретного случая), или подскажет где найти информацию по данному вопросу

P.S. допишу некоторые предположения модели, чтобы не возникало вопросов о том, континуально ли множество товаров на самом деле в модели 2 вида товаров промышленные и сельскохозяйственные (традиционные), традиционный товар однороден и не различается, и его вводят как товар измеритель (цена единица), а вот промышленные товары дифференцированы число фирм ограничено. В итоге делается предположение, что потребители максимизируют такую функцию полезности: $$\max_{A, M}{M^{\mu}A^{1-\mu}}$$ $$PM+p_aA\le y$$ где
M - промышленный товар
A - традиционный
P - индекс цен на промышленные товары
$p_a$ - цена на традиционный товар
$$M=(\int_{i \in N} [q(i)]^{\frac{\sigma -1}\sigma}di)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$$ К этому интегралу Кругман перешёл от следующей суммы, которую ввели Диксит и стиглиц, когда M было дискретно: $$M=(\sum_{i=1}^{n} q_i^{\frac{\sigma -1}\sigma})^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$$ ну а дальше Диксит и Стиглиц решают задачу максимизации в 2 этапа, сначала максимизируют M, потом максимизируют всю функцию, при максимальном M, вот так они решили проблему с максимизацией сложной функции (в их модели каждая фирма выпускала один товар). Понятно как решали Диксит и Стиглиц, потому что я уже повторил эти выкладки весьма подробно, однако повторить ту же задачу с интегралами или хотя бы объяснить, что это за интегралы у меня не выходит, когда я сказал, что интегралы были введены аналогично, просто для случая, когда товары непрерывно дифференцируемы, меня послали думать дальше)

задан 1 Янв '14 7:52

изменен 2 Янв '14 8:08

Видимо, имеется в виду, что у некоторых видов товаров свойства (внешний вид, применение и т.п.) отличаются очень слабо и меняются непрерывно (например, сорта пищевых продуктов), а значит, и спрос на них будет меняться непрерывно от завода к заводу, от сорта к сорту.
Поэтому мы берём какое-нибудь удобное для нас множество товаров, выделяем какие-то параметры, которые могут меняться непрерывно, могут быть измерены и однозначно описывают вид данного товара (у помидоров, например, это цвет, размеры, место произрастания и т.п.), а потом берём обычный многомерный интеграл по этим параметрам.

(1 Янв '14 14:14) trongsund

Я пытался так ответить на поставленный вопрос, но мне сказали, что это нужно объяснить не так... Задали повторно вопрос: "Как ввели этот интеграл?" - послали думать дальше... Уже 3 неделю голову ломаю, не понимаю, что от меня хотят) Ещё постоянный вопрос: "Что значит интегрирование по индексу и что это значит математически?", - на который я не могу ничего внятного ответить)

(1 Янв '14 15:35) zhildemon
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вероятно всего, здесь имеется ввиду, что задано какое-то измеримое пространство $%(\mathbb N, \mathcal A \subset 2^\mathbb N)$% с какой-то заданной на нём счётной мерой, из-за чего может не быть случая простой суммы.

P. S. Интеграл можно записать в виде $%\int\limits_{N}\hat q(i)dF(i)$%, где интеграл понимается в смысле Лебега-Стилтьеса, т. е. $%dF(i)=0$% всюду, кроме точек разрыва, в которых она равна величине скачка.

ссылка

отвечен 1 Янв '14 14:13

изменен 2 Янв '14 10:44

а если тут используется мера Лебега, то есть весь интеграл ещё возводится в обратную степень - это попадает под случай, когда мы не можем использовать просто сумму?

(1 Янв '14 15:22) zhildemon

Мера лебега вряд ли, поскольку множество всех товаров явно не континуально.

(1 Янв '14 15:56) MathTrbl

а почему индекс? сама функция ведь от него не зависит и это просто указатель на товар... какой смысл тогда у этого интеграла, если непонятно как его брать?

(1 Янв '14 19:14) zhildemon

вероятно, всё-таки можно говорить, что множество товаров континуально, если вместо разных товаров рассматривать один, но с разными параметрами

(1 Янв '14 19:55) trongsund

дописал некоторые предположения модели и некоторые шаги в основную часть вопроса

(2 Янв '14 8:02) zhildemon

спасибо, сейчас найду соответствующую теорию)

(2 Янв '14 17:25) zhildemon
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265

задан
1 Янв '14 7:52

показан
884 раза

обновлен
2 Янв '14 17:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru