Найти функцию, обратную к данной: у = х + [х].

задан 1 Янв '14 16:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь нужно выразить $%x$% через $%y$% (заодно проверив, что эта зависимость будет однозначной). Достаточно воспользоваться таким простым свойством: если $%x\in{\mathbb R}$% и $%k$% -- целое, то $%[x+k]=[x]+k$%, что легко следует из определения целой части.

Полагая $%k=[x]$%, мы далее имеем $%[y]=[x+k]=[x]+k=2[x]$%, откуда $%[x]=[y]/2$%, а потому $%x=y-[x]=y-[y]/2$%. Это и есть выражение для обратной функции. То есть, если $%f(x)=x+[x]$% -- функция из условия, то $%f^{-1}(y)=y-[y]/2$%. При желании, можно сделать эту функцию зависящей от переменной $%x$%, произведя переобозначения, и сказать, что функция $%y=x-[x]/2$% будет искомой обратной функцией.

Добавление. К решению нужно добавить следующее. Если $%y$% -- значение исходной функции, то $%[y]=2[x]$% -- чётное число. Поэтому областью определения обратной функции будет не вся числовая прямая, а только множество $%M=\cdots\cup[-2;-1)\cup[0;1)\cup[2;3)\cup\cdots$%, то есть множество чисел с чётной целой частью. Если $%y$% -- такое число, и $%[y]=2k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%, то для числа $%x=y-[y]/2=y-k$% мы получим $%[x]=[y-k]=[y]-k=k$%, то есть $%x+[x]=x+k=y$%. Это значит, что множеством значений исходной функции действительно будет всё множество $%M$%, и функция $%y\mapsto y-[y]/2$% с областью определения $%M$% будет искомой обратной функцией.

ссылка

отвечен 1 Янв '14 17:00

изменен 1 Янв '14 22:46

Спасибо, ваш ответ очень понятный.

(1 Янв '14 18:02) gibsonman01

Только необходимо учесть, что D(f^-1) = R(f).

(1 Янв '14 19:07) gibsonman01

Это уже формальности. Из доказательства следует, что $%y$% может быть произвольным, то есть обратная функция всюду определена.

(1 Янв '14 19:18) falcao

@gibsonman01: Ваше замечание было совершенно справедливо, но я не сразу это осознал. Сейчас сделаю добавление: к решению нужно кое-что добавить.

(1 Янв '14 22:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×22

задан
1 Янв '14 16:36

показан
1281 раз

обновлен
1 Янв '14 22:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru