|
Рассмотрим две функции $%f(x)=a^x$% и $%g(x)=x^a$% при некотором фиксированном $%a$%. При $%x=a$% значения функций совпадают $%f(a)=g(a)$%. Докажем, что при $%x>a$% выполняется неравенство $%f(x)>g(x)$%. Ограничимся случаем $% a \ge e$%. Тогда при $%x=a$% все производные функции $%f$% не меньше $%f(a)$%, а у функции $%g$% в точке $%x=a$% первая производная совпадает с $%g(a)$%, а все остальные - строго меньше $%g(a)$%. Разложим функции $%f(x)$% и $%g(x)$% в ряд Тейлора в окрестности точки $%x=a$%. Из приведенных рассуждений следует, что при $%x>a$% каждый член ряда Тейлора ф-ии $%f$% не меньше соответствующего члена ф-ии $%g$%, а начиная со второго - строго больше, откуда $%f(x)>g(x)$%, при $%x>a \ge e$%. Решение задачи следует из доказанной теоремы при $%a=e$%: $%f(\pi)>g(\pi)$%, т.к. $%\pi>e$%. отвечен 17 Мар '12 19:14 
Андрей Юрьевич x>a a^x > x^a как доказать
(17 Мар '12 19:55)
Karen
А как быть, например, с y=tgX и y=X?
(17 Мар '12 20:06)
Anatoliy
Функция tg(x) - не является непрерывной (непрерывность я сначала упустил, но потом добавил в пояснении).
(17 Мар '12 20:19)
Андрей Юрьевич
f и g дифференцируемые функции на $%[a;b)$%, где $%b$% меньше либо равно + бесконечности, $%f(a)=g(a)$% и для любого $%x$% из $%[a;b)$% справедливо $%f'(x)>g'(x)$% тогда $%f(x)>g(x)$% для $%x$% из $%(a;b)$%? так точнее докозать а не подборкой чисел
(17 Мар '12 20:46)
Karen
А вот грубить не надо! Жаль, что нет значка "не нравится комментарий"...
(18 Мар '12 0:15)
DocentI
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
$%e^\pi$% ? $%\pi^e$% - если прологарифмировать оба с основанием $%e$%, то получим $%\pi$% ? $%e ln(\pi)$%, если обозначить $%ln(\pi)=k$% то $%\pi=e^k$%: то есть надо сравнить $%e^k$% и $%e k$%. Т.к. $%e^x>e x$%, то получим $%e^\pi > \pi^e$%. отвечен 17 Мар '12 15:20 
Азат |
|
При каком условии $%a^b > b^a$%? Прологарифмируем неравенство по какому-нибудь основанию, например, e. Получим $%b\ln a>a\ln b$%. Поделим неравенство на положительные a, b, получим $%\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}$%. Осталось исследовать функцию $%\frac{\ln x}{x}$%. Она имеет максимум при x = e, так что $%e^b > b^e$% для любого положительного $%b\neq e$% отвечен 18 Мар '12 0:13 
DocentI |