1
1

-

задан 17 Мар '12 15:12

перемечен 24 Июн '12 14:50

dmg3's gravatar image


710333

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим две функции $%f(x)=a^x$% и $%g(x)=x^a$% при некотором фиксированном $%a$%. При $%x=a$% значения функций совпадают $%f(a)=g(a)$%. Докажем, что при $%x>a$% выполняется неравенство $%f(x)>g(x)$%. Ограничимся случаем $% a \ge e$%. Тогда при $%x=a$% все производные функции $%f$% не меньше $%f(a)$%, а у функции $%g$% в точке $%x=a$% первая производная совпадает с $%g(a)$%, а все остальные - строго меньше $%g(a)$%. Разложим функции $%f(x)$% и $%g(x)$% в ряд Тейлора в окрестности точки $%x=a$%. Из приведенных рассуждений следует, что при $%x>a$% каждый член ряда Тейлора ф-ии $%f$% не меньше соответствующего члена ф-ии $%g$%, а начиная со второго - строго больше, откуда $%f(x)>g(x)$%, при $%x>a \ge e$%. Решение задачи следует из доказанной теоремы при $%a=e$%: $%f(\pi)>g(\pi)$%, т.к. $%\pi>e$%.

ссылка

отвечен 17 Мар '12 19:14

изменен 15 Июн '12 15:27

x>a a^x > x^a как доказать

(17 Мар '12 19:55) Karen

А как быть, например, с y=tgX и y=X?

(17 Мар '12 20:06) Anatoliy

Функция tg(x) - не является непрерывной (непрерывность я сначала упустил, но потом добавил в пояснении).

(17 Мар '12 20:19) Андрей Юрьевич

f и g дифференцируемые функции на $%[a;b)$%, где $%b$% меньше либо равно + бесконечности, $%f(a)=g(a)$% и для любого $%x$% из $%[a;b)$% справедливо $%f'(x)>g'(x)$% тогда $%f(x)>g(x)$% для $%x$% из $%(a;b)$%? так точнее докозать а не подборкой чисел

(17 Мар '12 20:46) Karen
1

так что хорошенько подумайте прежде чем отвечать

(17 Мар '12 20:54) Азат

А вот грубить не надо! Жаль, что нет значка "не нравится комментарий"...

(18 Мар '12 0:15) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%При x>0 e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+...>1+x. Т.к. \pi>e,\frac{\pi}{e}-1>0,e^{\frac{\pi}{e}-1}>\frac{\pi}{e},e^{\frac{\pi}{e}}>\pi,e^{\pi}>{\pi}^e$%

ссылка

отвечен 15 Июн '12 15:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%e^\pi$% ? $%\pi^e$% - если прологарифмировать оба с основанием $%e$%, то получим $%\pi$% ? $%e ln(\pi)$%, если обозначить $%ln(\pi)=k$% то $%\pi=e^k$%: то есть надо сравнить $%e^k$% и $%e k$%. Т.к. $%e^x>e x$%, то получим $%e^\pi > \pi^e$%.

ссылка

отвечен 17 Мар '12 15:20

изменен 17 Мар '12 15:34

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

1

Точнее будет e^x>=ex.

(17 Мар '12 19:01) Anatoliy
1

Это когда $%x=1$%, а у нас вместо $%x=ln\pi>1$%, то есть $% e^x>ex$%.

(18 Мар '12 0:25) Азат
10|600 символов нужно символов осталось
2

При каком условии $%a^b > b^a$%? Прологарифмируем неравенство по какому-нибудь основанию, например, e. Получим $%b\ln a>a\ln b$%. Поделим неравенство на положительные a, b, получим $%\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}$%. Осталось исследовать функцию $%\frac{\ln x}{x}$%. Она имеет максимум при x = e, так что $%e^b > b^e$% для любого положительного $%b\neq e$%

ссылка

отвечен 18 Мар '12 0:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,852
×335

задан
17 Мар '12 15:12

показан
1681 раз

обновлен
24 Июн '12 14:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru