|
Как доказать, что если f и g дифференцируемые функции на $%[t;b)$%, где $%b$% меньше либо равно + бесконечности, $%f(t)=g(t)$% и для любого $%x$% из $%[t;b)$% справедливо $%f'(x)>g'(x)$% тогда $%f(x)>g(x)$% для $%x$% из $%(t;b)$%? задан 17 Мар '12 15:30 
Karen |
|
Рассмотрим функцию $% F(x)=f(x)-g(x)$%, она определена в $%[t;b)$% и $%F^'(x)=f^'(x)-g^'(x)>0 $% при $% x\in (t;b)$% , значит функция F возрастает в $%[t;b)$% ,и если $% x>t $% то $% F(x)>F(t)=0 $%. Значит $% f(x)-g(x)>0 $%, при $% x\in (t;b)\Rightarrow$% $% f(x)>g(x)$%, при $% x\in (t;b)$% отвечен 17 Мар '12 15:46 
ASailyan |
|
Если обозначить $%h(x)=f(x)-g(x)$% и применить к функции $%h(x)$% теорему Лагранжа на промежутке$%([x;b) t<x)$%то получим $% h(x)-h(t)=(x-t)h'(с)$% где $%с , из (x;b). h(x)=f(x)-g(x) ,h(t)=f(t)-g(t)=0$% $%h'(c)=f'(c)-g'(c)>0$%.То получим $%f(x)-g(x)>0$% $%=>$% $%f(x)>g(x)$% что и требовалось доказать отвечен 17 Мар '12 15:39 
Азат |