Как доказать, что если f и g дифференцируемые функции на $%[t;b)$%, где $%b$% меньше либо равно + бесконечности, $%f(t)=g(t)$% и для любого $%x$% из $%[t;b)$% справедливо $%f'(x)>g'(x)$% тогда $%f(x)>g(x)$% для $%x$% из $%(t;b)$%?

задан 17 Мар '12 15:30

изменен 17 Мар '12 15:39

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим функцию $% F(x)=f(x)-g(x)$%, она определена в $%[t;b)$% и $%F^'(x)=f^'(x)-g^'(x)>0 $% при $% x\in (t;b)$% , значит функция F возрастает в $%[t;b)$% ,и если $% x>t $% то $% F(x)>F(t)=0 $%. Значит $% f(x)-g(x)>0 $%, при $% x\in (t;b)\Rightarrow$% $% f(x)>g(x)$%, при $% x\in (t;b)$%

ссылка

отвечен 17 Мар '12 15:46

изменен 17 Мар '12 15:49

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если обозначить $%h(x)=f(x)-g(x)$% и применить к функции $%h(x)$% теорему Лагранжа на промежутке$%([x;b) t<x)$%то получим $% h(x)-h(t)=(x-t)h'(с)$% где $%с , из (x;b). h(x)=f(x)-g(x) ,h(t)=f(t)-g(t)=0$% $%h'(c)=f'(c)-g'(c)>0$%.То получим $%f(x)-g(x)>0$% $%=>$% $%f(x)>g(x)$% что и требовалось доказать

ссылка

отвечен 17 Мар '12 15:39

изменен 17 Мар '12 17:08

1

в частности из этого вытекает $%e^x>ex$% при $%x>=1$%

(17 Мар '12 17:10) Азат
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×338

задан
17 Мар '12 15:30

показан
595 раз

обновлен
17 Мар '12 17:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru