|
Пусть А и В некоторые группы, Н - подгруппа группы А, К - подгруппа группы В и $$ \varphi $$ - изоморфизм группы Н на группу К. Пусть гомоморфизмы $$ \sigma : A \rightarrow U$$ и $$ \tau : B \rightarrow U$$ групп А и В в некоторую группу U согласованы с изоморфизмом $$ \varphi $$. Тогда существует гомоморфизм $$ \rho $$ группы $$G=(A*B;H=K, \phi )$$ в группу U, ограничение которого на подгруппу А совпадает с гомоморфизмом $$ \sigma$$, а ограничение на подгруппу В совпадает с гомоморфизмом $$\tau $$. Следовало бы воспользоваться заданием группы G порождающими и определяющими соотношениями и определить отображение системы порождающих группы G в группу U, которое на порождающих A действует как $$ \sigma $$, а на порождающих B как $$ \tau $$. Далее, вообще не понимаю,что делать. задан 2 Янв '14 21:36 
Kseniya |
|
Сначала строится гомоморфизм $%\psi\colon A\ast B\to U$% из свободного произведения в $%U$%. Каждое определяющее соотношение свободного произведения с объединением имеет вид $%h=\varphi(h)$%, где $%h\in H$%. Понятно, что все эти соотношения, записанные в виде $%h^{-1}\varphi(h)$%, лежат в ядре $%\psi$%, согласно условию. Остаётся применить теорему о гомоморфизмах. Факторгруппа по ядру как раз и есть $%G$%. Тот факт, что указанные элементы лежат в ядре, следует из того, что для любого $%h\in H$% справедливо $%\psi(h)=\sigma(h)$%, и $%\psi(\varphi(h))=\tau(\varphi(h))=\sigma(h)$% ввиду согласованности, то есть совпадения $%\sigma$% с композицией $%\tau\circ\varphi$% на подгруппе $%H\leq A$%. отвечен 2 Янв '14 23:11 
falcao и это все, что требуется?
(2 Янв '14 23:14)
Kseniya
1
В этих задачах нет никакого глубокого содержания: это чистого рода проверки корректности каких-то отображений. Это всё можно излагать на таком языке, где необходимость в лишних проверках вообще не возникает: всё следует из нескольких базовых фактов типа свойств свободных групп и гомоморфизмов, а также групп, заданных образующими и соотношениями.
(2 Янв '14 23:21)
falcao
спасибо. не поняла, почему фактор-группа по ядру есть G. можете объяснить?
(2 Янв '14 23:30)
Kseniya
1
Группа, заданная образующими и определяющими соотношениями, изоморфна факторгруппе $%{\cal F}/{\cal N}$%, где $%{\cal F}$% -- свободная группа, а $%{\cal N}$% -- нормальное замыкание множества определяющих соотношений, то есть наименьшая нормальная подгруппа в $%{\cal F}$%, содержащая $%{\cal R}$%. Она имеет явное описание как множество всех элементов вида $%\prod_ix_i^{-1}r_i^{\pm1}x_i$% (сопряжённых определяющим соотношениям и им обратным). Если брать за основу классы эквивалентности слов, то получается такое же точно описание. Это как раз те базовые факты, которые проще всего использовать.
(2 Янв '14 23:43)
falcao
Понятно, спасибо большое!
(2 Янв '14 23:52)
Kseniya
|