Пусть А и В некоторые группы, Н - подгруппа группы А, К - подгруппа группы В и $$ \varphi $$ - изоморфизм группы Н на группу К. Пусть гомоморфизмы $$ \sigma : A \rightarrow U$$ и $$ \tau : B \rightarrow U$$ групп А и В в некоторую группу U согласованы с изоморфизмом $$ \varphi $$. Тогда существует гомоморфизм $$ \rho $$ группы $$G=(A*B;H=K, \phi )$$ в группу U, ограничение которого на подгруппу А совпадает с гомоморфизмом $$ \sigma$$, а ограничение на подгруппу В совпадает с гомоморфизмом $$\tau $$. Следовало бы воспользоваться заданием группы G порождающими и определяющими соотношениями и определить отображение системы порождающих группы G в группу U, которое на порождающих A действует как $$ \sigma $$, а на порождающих B как $$ \tau $$. Далее, вообще не понимаю,что делать.

задан 2 Янв '14 21:36

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сначала строится гомоморфизм $%\psi\colon A\ast B\to U$% из свободного произведения в $%U$%. Каждое определяющее соотношение свободного произведения с объединением имеет вид $%h=\varphi(h)$%, где $%h\in H$%. Понятно, что все эти соотношения, записанные в виде $%h^{-1}\varphi(h)$%, лежат в ядре $%\psi$%, согласно условию. Остаётся применить теорему о гомоморфизмах. Факторгруппа по ядру как раз и есть $%G$%.

Тот факт, что указанные элементы лежат в ядре, следует из того, что для любого $%h\in H$% справедливо $%\psi(h)=\sigma(h)$%, и $%\psi(\varphi(h))=\tau(\varphi(h))=\sigma(h)$% ввиду согласованности, то есть совпадения $%\sigma$% с композицией $%\tau\circ\varphi$% на подгруппе $%H\leq A$%.

ссылка

отвечен 2 Янв '14 23:11

и это все, что требуется?

(2 Янв '14 23:14) Kseniya
1

В этих задачах нет никакого глубокого содержания: это чистого рода проверки корректности каких-то отображений. Это всё можно излагать на таком языке, где необходимость в лишних проверках вообще не возникает: всё следует из нескольких базовых фактов типа свойств свободных групп и гомоморфизмов, а также групп, заданных образующими и соотношениями.

(2 Янв '14 23:21) falcao

спасибо. не поняла, почему фактор-группа по ядру есть G. можете объяснить?

(2 Янв '14 23:30) Kseniya
1

Группа, заданная образующими и определяющими соотношениями, изоморфна факторгруппе $%{\cal F}/{\cal N}$%, где $%{\cal F}$% -- свободная группа, а $%{\cal N}$% -- нормальное замыкание множества определяющих соотношений, то есть наименьшая нормальная подгруппа в $%{\cal F}$%, содержащая $%{\cal R}$%. Она имеет явное описание как множество всех элементов вида $%\prod_ix_i^{-1}r_i^{\pm1}x_i$% (сопряжённых определяющим соотношениям и им обратным). Если брать за основу классы эквивалентности слов, то получается такое же точно описание. Это как раз те базовые факты, которые проще всего использовать.

(2 Янв '14 23:43) falcao

Понятно, спасибо большое!

(2 Янв '14 23:52) Kseniya
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,136

задан
2 Янв '14 21:36

показан
241 раз

обновлен
2 Янв '14 23:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru