2arccos(x)=arccos(7x/3)

задан 3 Янв '14 19:25

10|600 символов нужно символов осталось
2

ОДЗ $%\begin{cases}x\in[-1;1]\\ -1\le7x/3\le 1 \end{cases}\Leftrightarrow -\frac37\le x\le \frac37$%

$%2arccos(x)=arccos(7x/3)\Rightarrow cos(2arccos(x))=cos(arccos(7x/3)\Rightarrow $%

$%\Rightarrow 2cos^2(arccos(x))-1=\frac{7x}3 \Rightarrow 2x^2-\frac{7x}3-1=0 \Leftrightarrow 6x^2-7x-3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x=-\frac13\\ x=\frac 32 \end{aligned}\right. $%

$%\frac 32 \notin [-\frac37;\frac37],$% а $%-\frac13$% принадлежит ОДЗ. Однако проверка показывает, что $%-\frac13$% тоже лишный корень.

Значит уравнение не имеет решений.

ссылка

отвечен 3 Янв '14 19:53

изменен 4 Янв '14 3:58

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%\varphi=\arccos x$%. Тогда $%\cos\varphi=x$%, и $%\cos2\varphi=7x/3$%. Из формулы косинуса двойного угла следует, что $%2x^2-1=7x/3$%. Это квадратное уравнение имеет два корня: $%x=3/2$% и $%x=-1/3$%. Первое из чисел не принадлежит области определения арккосинуса. Для второго числа получается $%\cos\varphi=-1/3$%, то есть $%\varphi$% -- тупой угол. Это значит, что $%2\varphi > \pi$%, то есть $%2\varphi$% не может быть арккосинусом угла. Вывод: уравнение имеет пустое множество решений.

Заметим, что для $%x=-1/3$% равенство $%2\arccos(-1/3)=\arccos(-7/9)$% не имеет места. В действительности, эти числа связаны между собой, но другим равенством, а именно $%2\arccos(-1/3)=2\pi-\arccos(-7/9)$%.

ссылка

отвечен 3 Янв '14 20:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915
×909
×597

задан
3 Янв '14 19:25

показан
1005 раз

обновлен
4 Янв '14 3:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru