|
ОДЗ $%\begin{cases}x\in[-1;1]\\ -1\le7x/3\le 1 \end{cases}\Leftrightarrow -\frac37\le x\le \frac37$% $%2arccos(x)=arccos(7x/3)\Rightarrow cos(2arccos(x))=cos(arccos(7x/3)\Rightarrow $% $%\Rightarrow 2cos^2(arccos(x))-1=\frac{7x}3 \Rightarrow 2x^2-\frac{7x}3-1=0 \Leftrightarrow 6x^2-7x-3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x=-\frac13\\ x=\frac 32 \end{aligned}\right. $% $%\frac 32 \notin [-\frac37;\frac37],$% а $%-\frac13$% принадлежит ОДЗ. Однако проверка показывает, что $%-\frac13$% тоже лишный корень. Значит уравнение не имеет решений. отвечен 3 Янв '14 19:53 
ASailyan |
|
Пусть $%\varphi=\arccos x$%. Тогда $%\cos\varphi=x$%, и $%\cos2\varphi=7x/3$%. Из формулы косинуса двойного угла следует, что $%2x^2-1=7x/3$%. Это квадратное уравнение имеет два корня: $%x=3/2$% и $%x=-1/3$%. Первое из чисел не принадлежит области определения арккосинуса. Для второго числа получается $%\cos\varphi=-1/3$%, то есть $%\varphi$% -- тупой угол. Это значит, что $%2\varphi > \pi$%, то есть $%2\varphi$% не может быть арккосинусом угла. Вывод: уравнение имеет пустое множество решений. Заметим, что для $%x=-1/3$% равенство $%2\arccos(-1/3)=\arccos(-7/9)$% не имеет места. В действительности, эти числа связаны между собой, но другим равенством, а именно $%2\arccos(-1/3)=2\pi-\arccos(-7/9)$%. отвечен 3 Янв '14 20:13 
falcao |