Из точки P, расположенной на гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры на катеты. Эти перпендикуляры разбивают треугольник ABC на три части - два треугольника и прямоугольник. Может ли площадь каждой из этих частей составлять менее 4/9 площади исходного треугольника?

задан 3 Янв '14 20:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем считать, что длина катета равна 1. Тогда проекции точки $%P$% разбивают катеты на отрезки длиной $%x$% и $%1-x$%. Площади треугольников оказываются равны $%x^2/2$% и $%(1-x)^2/2$%, а прямоугольник имеет площадь $%x(1-x)$%. Если предположить, что каждая из площадей меньше 4/9 от площади всего треугольника, равной 1/2, то выполняются три неравенства: $%x^2 < 4/9$%, $%(1-x)^2 < 4/9$% и $%x(1-x) < 2/9$%. Из первых двух условий следует $%1/3 < x < 2/3$%. Функция $%y=x-x^2$% на этом интервале всюду больше $%2/9$%, так как именно такое значение получается на концах, а ветви параболы здесь направлены вниз, и все промежуточные значения оказываются строго больше. То же самое можно доказать аналитически, исходя из неравенства $%-1/6 < x-1/2 < 1/6$%. Таким образом, ответ отрицательный.

ссылка

отвечен 3 Янв '14 22:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,696

задан
3 Янв '14 20:47

показан
697 раз

обновлен
3 Янв '14 22:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru