Решить в целых числах систему уравнений: $$x+y+z= 1$$, $$x^3 +y ^3 +z^2 =1$$

задан 3 Янв '14 21:24

изменен 4 Янв '14 14:04

10|600 символов нужно символов осталось
0

Выразим $%z$% из первого уравнения и подставим во второе. Получится $%x^3+y^3=1−z^2=(1−z)(1+z)=(x+y)(2−x−y)$%. Если $%x+y=0$%, то $%z=1$%, и это даёт серию решений вида $%(x;−x;1)$%, где $%x$% -- произвольное целое.

Если $%x+y\ne0$%, то на этот множитель можно сократить, и тогда возникает уравнение $%x^2−xy+y^2=2−x−y$%. Его можно решить как квадратное относительно $%x$%, находя дискриминант. Получается $%D=−3y^2−6y+9=12−3(y+1)^2$%. Чтобы имелись корни, необходимо выполнение условия $%|y+1|\le2$%, причём случай $%y+1=0$% не подходит, так как дискриминант не будет полным квадратом. Анализ каждого из остальных случаев приводит к таким шести дополнительным решениям (симметричным относительно перестановки x и y): (1;0;1), (0;1;1), (−2;0;3), (0,−2,3), (−2;−3;6), (−3,−2;6).

ссылка

отвечен 4 Янв '14 1:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×273

задан
3 Янв '14 21:24

показан
1032 раза

обновлен
4 Янв '14 14:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru