Найти целые неотрицательные решения уравнения $$x^3-3 xy + y^3-x- y = 0.$$

задан 4 Янв '14 13:12

изменен 4 Янв '14 14:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

В тех случаях, когда многочлен симметричен относительно $%x$% и $%y$%, удобно выражать его через новые переменные $%a=x+y$% и $%b=xy$%. В данном случае $%x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=a(a^2-3b)$%, поэтому уравнение принимает вид $%a^3-3ab-3b-a=0$%, то есть $%a(a^2-1)=3b(a+1)$%. Ввиду неотрицательности $%x$% и $%y$%, число $%a+1$% положительно, и на него можно поделить обе части равенства. Получится $%a(a-1)=3b$%. При этом числа $%x$%, $%y$% станут корнями квадратного уравнения $%t^2-(x+y)t+xy=0$%, то есть $%t^2-at+b=0$%. Дискриминант должен быть неотрицателен, что означает $%D=a^2-4b\ge0$%. Тем самым, $%4a(a-1)=12b\le3a^2$%. При $%a=0$% имеем $%b=0$%, что соответствует нулевому решению $%x=y=0$%. Если $%a\ne0$%, то сокращаем на $%a$%. Знак неравенства при этом не меняется ввиду $%a > 0$%. Имеем $%4a-4\le3a$%, то есть $%a\le4$%. Дальнейшее просто: значение $%a=2$% не подходит, так как $%a(a-1)$% должно быть кратно трём, а для остальных значений получается $%a=1$%, $%b=0$%; $%a=3$%, $%b=2$%; $%a=4$%, $%b=4$%. Для каждой из этих пар значений решается система $%x+y=a$%, $%xy=b$%. Общее количество решений системы в целых неотрицательных числах равно шести: $%(x;y)\in\{(0;0),(1;0),(0;1),(1;2),(2;1),(2;2)\}$%.

ссылка

отвечен 4 Янв '14 16:12

@falcao: Уважаемый фалькао, как вы определили, что x, y станут корнями квадратного уравнения t2−(x+y)t+xy=0?заранее спасибо

(6 Фев '14 17:49) conwell

@conwell: при $%t=x$%, а также при $%t=y$% произведение $%(t-x)(t-y)$% обращается в ноль. Это значит, что числа $%x$%, $%y$% являются корнями многочлена соответствующего уравнения. Если в произведении раскрыть скобки, считая $%t$% переменной, а $%x,y$% -- постоянными значениями, то получается квадратное уравнение $%t^2-(x+y)t+xy=0$%. По сути дела, это теорема Виета.

(6 Фев '14 18:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×909

задан
4 Янв '14 13:12

показан
1688 раз

обновлен
6 Фев '14 18:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru