тригонометрия - Найдите ближайшее целое число к сумме

Если $%0 < x < \pi/2$% -- угол в радианах, то справедливы неравенства $$\sin x < x < {\mathop{\rm tg\,}x}.$$ Положим $%n=1000$% и $%x=\frac{\pi}{180n}$%. Тогда сумма из условия равна $%{\mathop{\rm tg\,}x}+{\mathop{\rm tg\,}2x}+\cdots+{\mathop{\rm tg\,}nx}$%, и она больше, чем $%x+2x+\cdots+nx=nx\cdot\frac{n+1}2=1001\cdot\frac{\pi}{360} > 25\pi/9 > 8,7$%.

С другой стороны, $%{\mathop{\rm tg\,}kx}=\frac{\sin kx}{\cos kx} < \frac{kx}{\cos nx}$% при всех $%1\le k\le n$%, поэтому та же сумма из условия задачи меньше, чем $%\frac1{\cos1^{\circ}}\cdot1001\cdot\frac{\pi}{360}$%. Эту величину можно приближённо сосчитать на калькуляторе, и она меньше $%8,74$%. Поэтому ближайшее целое число равно $%9$%.

При желании, можно обойтись и без калькулятора, основываясь на достаточно грубых оценках, из которых легко следует, что оцениваемая величина меньше 9.