функции - Общие точки функций

При $%x<0$% графики не пересекаются. Исследуем число точек пересечения, при $% x\ge 0$%. Рассмотрим функцию $% F(x)=a^x-x $% при $% x\in (0;\infty)$% и $% a>1$%.

$% F^{'}(x)=0 \Leftrightarrow a^xlna-1=0 \Leftrightarrow a^x=\frac{1}{lna} (**)$% .

1) Если $% а> е $%, то функция возрастает в $%[0;\infty)\Rightarrow F(x)>F(0)=1>0 \Rightarrow a^x>x$% , при $%x>0$% , это означает что графики не пересекаются.

2) Если , если $% \frac{1}{lna}>1\Leftrightarrow 1<а<е $%, то уравнение (**) имеет решение в промежутке $% (0;\infty)$%. Функции будет иметь одну критическую точку $%x=\log_a{log_a{e}}\in (0;\infty)$% . При $% x>\log_a{log_a{e}}$% , функция возрастает, потому что $% F^{'}(x)>0 $%, a при $% 0<x<\log_a{log_a{e}}$% ,функция убывает, потому что $% F^{'}(x)<0 $% . Значит $% minF(x)= F(\log_a{log_a{e}})=\log_a(elna)$%.

Тогда если $% minF(x)<0\Leftrightarrow 1<а<е^{\frac{1}{e}}$%, ввиду монотонности функции и по теореме Больцано-Коши функция будет иметь два нуля, один в промежутке$% (0;\log_a{log_a{e}})$%, а другой в промежутке $%(\log_a{log_a{e}}; \infty)$%,значит будут две точки пересечения графиков.

3) При $% а>е^{\frac{1}{e}}$%, тогда $% F(x)\ge minF(x)= \log_a(elna)>0 $%, графики не пересекаются

4) При $% а=е^{\frac{1}{e}}$%тогда $% F(x)\ge minF(x)=0$%, графики пересекаются в одной точке с абсциссом $%x=\log_a{log_a{e}}$%

Ответ.

• При $% \large 1<а<е^{\frac{1}{e}}$% 2 точки пересечения

• При $% \large а=е^{\frac{1}{e}}$%, 1 точка

• При $% \large а>е^{\frac{1}{e}}$%, нету точек пересечения.