Проверить на поточечную и равномерную сходимость $%f_n(x)=nxe^{-nx^2}$% для $%x \in \mathbb{R}$% и $%x \in (-\infty, -2]$%.


Почему-то не хотят вставляться формулы. При редактировании всё нормально, а после отправки поста получается ерунда, поэтому картинкой: http://makescreen.ru/i/45b83a48b74dfedeec159bfb20b937.png


@falcao Оценка по модулю? В смысле признак Вейерштрасса? Тогда вот так? $%|f_n(x)| \leq c_n \forall n \geq m \forall x \in \mathbb{R}$%, где $%c_n=q^n$%, $%q \in (0, 1)$% и $%\sum_{n=1}^{\infty}c_n$% сходится. Но тогда сходится равномерно $%\sum_{n=1}^{\infty}f_n$%, а про $%f_n$% мы ничего сказать не можем... Или я Вас не так понял?

задан 4 Янв '14 18:26

изменен 4 Янв '14 18:56

Здесь оценка должна быть по модулю. Поэтому надо подобрать подходящее $%q$%. Экспонента здесь убывает очень быстро, то есть такую оценку можно подобрать.

(4 Янв '14 18:34) falcao

@Ветер: тут уже написали решение, и этих соображений достаточно. Я обратил внимание на то, что у Вас не было знака модуля, а функции здесь принимают отрицательные значения. Поэтому из неравенства $%f_n(x)\le q^n$%, которое при этом очевидно, ничего не следует. Тем не менее, этот путь можно было бы реализовать, доказав, что $%|f_n(x)|\le c_n$% для какой-нибудь последовательности, стремящейся к нулю. Например, для $%c_n=q^n$%, где $%q\in(0;1)$%. При этом будет верен и факт насчёт рядов, но об этом думать не надо, так как в задаче про это не спрашивается.

(5 Янв '14 2:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Нетрудно убедиться, что функциональная последовательность $%f_n(x)$% поточечно сходится к тождественно нулевой функции: $$f_n(x)=\dfrac{nx}{e^{nx^2}}\underset{n\to{\infty}}\rightarrow{f(x)\equiv{0}}.$$ Принимая во внимание нечетность $%f_n(x)$% и положительность на $%(0,\ +\infty), $% найдем $$\sup\limits_{x\in \mathbb{R}}{|f_n(x)-f(x)|}= \sup\limits_{x\in \mathbb{R}}{|f_n(x)|}=\sup\limits_{x\in (0,\ +\infty)}{f_n(x)}.\ $$ Дифференцируя $%f_n(x),$% получим $$\dfrac{df_n(x)}{dx}=\dfrac{n(1-2nx^2)}{e^{nx^2}},$$ откуда заключаем, что точка $%x_n^{(0)}=\dfrac{1}{\sqrt{2n}}$% является точкой максимума, и $$\sup\limits_{x\in (0,\ +\infty)}{f_n(x)}=f_n\left(x_n^{(0)}\right)=\sqrt{\dfrac{n}{2e}}\underset{n\to\infty}\nrightarrow{0}. $$ Следовательно, функциональная последовательность $%(f_n)$% не будет равномерно сходиться на $%\mathbb{R}. $%
Однако на множестве $% E_2=(-\infty,\, -2] $% сходимость будет равномерной, поскольку $$\sup\limits_{x\in E_2}{|f_n(x)|}=\dfrac{2n}{e^{4n}} < \dfrac{1}{e^n}.$$

ссылка

отвечен 5 Янв '14 2:28

изменен 5 Янв '14 15:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
4 Янв '14 18:26

показан
625 раз

обновлен
5 Янв '14 15:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru