Числа 1, 2, ..., 9 расставлены в квадрате 3x3. Будем называть такие квадраты «фэншуйными», у которых при выборе любых трёх клеток, расположенных в разных столбцах и разных строках, сумма чисел, стоящих в выбранных клетках будет равна 15.

Пример «фэншуйного» квадрата:

417

639

528

5+1+9=15

1) Написать все «фэншуйные» квадраты, у которых в первой строке стоят цифры 9, 7, 8 ( в указанном порядке).

2) Сколько всего таких "фэншуйных" квадратов существует?

задан 4 Янв '14 21:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

По поводу пункта 2, то есть общего числа "фэншуйных" квадратов. Прежде всего, можно дать описание того, как все они устроены. Для начала рассмотрим такой "образцовый" квадрат, в котором строки имеют вид 1 2 3, 4 5 6, 7 8 9. Он обладает всеми нужными свойствами. Если теперь в нём мы начнём переставлять строки или столбцы произвольным образом, то свойство "фэншуйности" сохранится, так как три элемента с суммой 15 перейдут в три элемента с такой же суммой. Ведь если числа стояли в разных строках (столбцах), то после перестановок они также окажутся в разных строках (столбцах). Можно также записать числа от 1 до 9 не по строкам, а по столбцам, проделав то же самое. Утверждается, что все "фэншуйные" квадраты этими примерами исчерпываются.

Для доказательства заметим следующее: числа 1 и 2 обязаны находиться либо в одной строке, либо в одном столбце. В противном случае они не дадут 15 в сумме ни с какой другой цифрой. Это же утверждение будет верно для чисел 1 и 3, а также для чисел 2 и 3. Последним для суммы 15 необходимо было бы отсутствующее число 10.

Из этого следует вывод, что во всяком "фэншуйном" квадрате числа 1, 2, 3 расположены либо в одной строке, либо в одном столбце. Аналогичный вывод справедлив и для чисел 7, 8, 9. При этом, если 1, 2, 3 записаны в строке (в каком-то порядке), то 7, 8, 9 тоже записаны в строке, и при этом 1 находится в том же столбце, что и 7, а числам 2 и 3 в этом же смысле соответствуют 8 и 9. Тогда оставшаяся строка заполнена числами 4, 5, 6, и закономерность та же: в одном столбце будут 1, 4, 7, в другом 2, 5, 8, в третьем 3, 6, 9.

Теперь легко подсчитать, сколько имеется квадратов с описанным свойством. Для начала мы рассмотрим случай, когда 1, 2, 3 расположены в строке. Случай, когда эти числа занимают столбец, ведёт к такому же числу вариантов. Итак, мы 3 способами выбираем одну из строк, в которую хотим поместить 1, 2, 3. Далее мы выбираем одну из 3!=6 перестановок для расположения этих чисел в выбранной строке. Потом 2 способами выбираем строку для 4, 5, 6, и их перестановка теперь определена однозначно. В оставшуюся строку вписываем 7, 8, 9, что также делается однозначно. Общее число вариантов здесь по правилу произведения равно $%3\cdot6\cdot2=36$%. Столько же вариантов мы имеем для построения квадрата, у которого 1, 2, 3 расположены в столбце, а не в строке. Итого получается 72 "фэншуйных" квадрата.

ссылка

отвечен 5 Янв '14 2:37

10|600 символов нужно символов осталось
2

Числа во второй строке обозначим $%x,y,z.$% Тогда в третей строке будут числа $%15-7-z, 15-9-z, 15-7-x.$%

$%\begin{pmatrix}\ 9 & 7 & 8\\ x & y & z \\8-z & 6-z & 8-x \end{pmatrix}$%

Остается решить систему во множестве $%M=\{1,2,3,4,5,6\}$%

$%\begin{cases} 17+y-x=15\\ 14+x-z=15 \\16+y-z=15\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x-y=2\\ x-z=1 \\z-y=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} y=x-2\\ z=x-1 \\(x-1)-(x-2)=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} y=x-2\\ z=x-1 \\x\in M \end{cases}.$%

Решения системы $%(6,4,5);(5,3,4);(4,2,3);(3;1;2). $% Их соответствуют 4 квадраты:

$%\begin{pmatrix}\ 9 & 7 & 8\\ 6 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}\ 9 & 7 & 8\\ 5 & 3 & 4 \\4 & 2 & 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}\ 9 & 7 & 8\\ 4 & 2 & 3 \\5 & 3 & 4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}\ 9 & 7 & 8\\ 3 & 1 & 2 \\6 & 4 & 5 \end{pmatrix}$%

Из них подходят только первый и последный.

Ответ. $%\begin{pmatrix}\ 9 & 7 & 8\\ 6 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $%,$%\begin{pmatrix}\ 9 & 7 & 8\\ 3 & 1 & 2 \\6 & 4 & 5 \end{pmatrix}$%

ссылка

отвечен 4 Янв '14 23:17

изменен 5 Янв '14 2:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
4 Янв '14 21:55

показан
1679 раз

обновлен
5 Янв '14 2:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru