|
Еще один дурацкий вопрос из оперы "Область определения периодической функции". Мне невдомек, почему областью определения периодической функции может быть множество всех действительных чисел x таких, например, что x ≠ 3p - 2, где p ∈ Z, хотя функция с областью определения в виде числового промежутка не может быть периодической. Ведь запись x ≠ 3p - 2, p ∈ Z можно представить в виде D(f) = ... U (1;4) U (7;10) U ..., т. е. в виде числового промежутка (точнее объединения промежутков). Положим, период рассматриваемой функции T = 2. Выбрав из области определения произвольное значение x, к примеру x = 6, получим, что число x - T = 6 - 2 = 4 не принадлежит области определения. На этой почве у меня небольшой когнитивный диссонанс. Не подскажете, как от него избавиться? задан 5 Янв '14 13:00 
Noir |
|
Избавиться очень просто: нужно отдавать себе отчёт в том, что именно доказывает данное конкретное рассуждение. Оно само по себе правильно, но из него следует только такое положение: если функция с описанной областью определения периодична, то её период не может равняться двум. Это совершенно бесспорно. Однако кроме 2 есть ещё бесконечно много других отличных от нуля чисел, которые теоретически могут оказаться периодами. Например, число $%T=3$% таким свойством обладает. Если $%x\in D(f)$%, то $%x+3\in D(f)$%, и наоборот. И можно задать любую функцию на интервале $%(1;4)$%, продолжив её периодически на всю область определения, что делается единственным образом. Просто не нужно считать, что коль скоро функция периодична, то её период может быть каким угодно. P.S. Я исходил из того, что если $%x\ne3p-2$% для $%p\in{\mathbb Z}$%, то получается объединение интервалов вида $%\cdots\cup(-2;1)\cup(1;4)\cup(4;7)\cup(7;10)\cup\cdots$%. В этом случае можно задать функцию с периодом 3. Если же брать интервалы через один, как у Вас было написано, то там период может быть равен 6. отвечен 5 Янв '14 13:18 
falcao Да, но если мы воспользуемся формулой T ≠ ±(3p - 2 - x) для определения области допустимых значений T, то обнаружим, что найдется такое значение x, принадлежащее области определения (а именно x = 4), что T ≠ ±3 при p = 1 и p = 3. В чем моя ошибка? P. S. Промежуток (4;7) я примитивно пропустила по глупости умственной, прошу прощения.
(6 Янв '14 13:49)
Noir
@Noir: Вы говорите, что $%x=4$% принадлежит области определения. На мой взгляд, это не так, поскольку $%4$% имеет вид $%3p-2$% при $%p=2$%.
(6 Янв '14 14:06)
falcao
Ах да, конечно! Беру свои замечания обратно. Благодарю за помощь и терпение.
(6 Янв '14 14:25)
Noir
Да, чуть не забыла: с Рождеством Вас!
(6 Янв '14 15:56)
Noir
|