Даны три комплексных числа z1, z2 и z3:

$$z_1=2\sqrt{3+2i}, z_2=-1-\sqrt{3i}, z_3=2-2i$$

  1. выполнить действия над ними в алгебраической, тригонометрической и показательной формах $%z_1z_3^2/z_2^4$%;
  2. найти расстояние между точками и на комплексной плоскости.

задан 18 Дек '11 22:20

изменен 18 Дек '11 23:04

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Хм, правильно ли я понимаю, что здесь правильное условие все же: $%z_1=2\sqrt3+2i, z_2=-1-\sqrt3i$%?

(20 Дек '11 14:05) Occama
10|600 символов нужно символов осталось
2

На примере числа $%z=1+i$%: алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма.

$$z=1+i=\sqrt2(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})=\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}$$

Действия над числами:

$$(1+i)^2=1^2+2i+i^2=2i$$ $$\big(\sqrt2(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})\big)^2= 2\big(cos^2\frac{\pi}{4}+2icos\frac{\pi}{4}sin\frac{\pi}{4}+i^2sin^2\frac{\pi}{4}\big)= 2isin\frac{\pi}{2}$$ $$\big(\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}\big)^2=2e^{i\frac{\pi}{2}}$$

Расстояние между точками $%z_1, z_2$% - это $%|z_1 - z_2|$%.

В вашем задании действовать по аналогии. Подробнее: комплексное число.

ссылка

отвечен 19 Дек '11 11:19

если бы так все было просто.. литературы -то у м еня полно, да только понять мой логический мозг не хочет- напрочь отторгает.ведь там еще и корень надо перетворить, и с -+ запутался каша мозг вытек, голова неадекватно прыгает,болит очень..да и аналогии моиим примерам чет не нахожу- получился такой бред, что стыдно..

(19 Дек '11 14:43) ookami
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если действительно так, как я написал в комментарии, то

1)в алгебраической форме $$z_3^2=(2-2i)^2=4-8i-4=-8i;z_2^4=((-1-\sqrt3i)^2)^2=(1+2\sqrt3i-3)^2=$$ $$=(-2+2\sqrt3i)^2=4-8\sqrt3i-12=-8-8\sqrt3i$$

$$z_1z_3^2=(2\sqrt3+2i)(-8i)=-16\sqrt3i+16$$ $$\frac{z_1z_3^2}{z_2^4}=\frac{16-16\sqrt3i}{-8-8\sqrt3i}=\frac{16(1-\sqrt3i)(1-\sqrt3i)}{-8(1+\sqrt3i)(1-\sqrt3i)}=-2\frac{-2-2\sqrt3i}{4}=1+\sqrt3i$$

2)Переведем в тригонометрическую форму: $$z_1=2\sqrt3+2i=4(cos\frac\pi6+isin\frac\pi6)$$ $$z_2=-1-\sqrt3i=-2(cos\frac\pi3+isin\frac\pi3)$$ $$z_2^4=(-2)^4(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3})=16(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3})$$ $$z_3=2-2i=4(cos\frac{-\pi}4+isin\frac{-\pi}4)$$ $$z_3^2=4^2(cos\frac{-2\pi}4+isin\frac{-2\pi}4)=16(cos\frac{-\pi}2+isin\frac{-\pi}2)$$ $$\frac{z_1z_3^2}{z_2^4}=\frac{4*16}{16}(cos(\frac\pi6+\frac{-\pi}2-\frac{4\pi}3)+isin(\frac\pi6+\frac{-\pi}2-\frac{4\pi}3))=$$ $$=4(cos\frac{-5\pi}3+isin\frac{-5\pi}3)=4(cos\frac{\pi}3+isin\frac{\pi}3)$$

3)в показательной форме $$z_1=4e^{i\frac\pi6},z_2=-2e^{i\frac\pi3}, z_2^4=16e^{i\frac{4\pi}3},z_3=4e^{-i\frac\pi4},z_3^2=16e^{-i\frac\pi2}$$

$$\frac{z_1z_3^2}{z_2^4}=\frac{4e^{i\frac\pi6}16e^{-i\frac\pi2}}{16e^{i\frac{4\pi}3}}=4e^{i\frac{-5\pi}3}=4e^{i\frac{\pi}3}$$

4)расстояние. Посчитаем расстояние $%z_1z_3$%, это дело уж совсем чисто техническое. $$|z_1-z_3|=|2\sqrt3-2+(2+2)i|=\sqrt{(2\sqrt3-2)^2+(4)^2}=$$ $$=\sqrt{12-8\sqrt3+4+16}=\sqrt{32-8\sqrt3}=2\sqrt{8+2\sqrt3}$$

ссылка

отвечен 20 Дек '11 22:12

изменен 21 Дек '11 21:25

даже чисто техническое дело мне не поддается..опять каша(пытаюсь переделать на нужное-найти расстояние между точками z1 и z3 на комплексной плоскости (в задании не дописалось..))поможи плз..

(21 Дек '11 19:32) ookami

Поправил :\

(21 Дек '11 21:26) Occama
10|600 символов нужно символов осталось
0

Распишите пожалуйста подробнее нахождения z в алгебраической форме, там где деления с какой формулой работали?

ссылка

отвечен 19 Окт '12 19:24

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$ =4(cos\frac{-5\pi}3+isin\frac{-5\pi}3)=4(cos\frac{\pi}3+isin\frac{\pi}3)$$ Скорее всего не верно , может автор забыл корень дописать ...

$$ 1+\sqrt3i = |1^2+(\sqrt3)^2|=\sqrt4=2$$

ссылка

отвечен 5 Окт '16 23:49

@DDos: что именно Вы считаете неверным? Я вижу здесь только одно неверное равенство -- в последней строке. Там у числа в левой части пропущен знак модуля.

(6 Окт '16 0:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×356

задан
18 Дек '11 22:20

показан
9477 раз

обновлен
6 Окт '16 0:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru