|
Второе уравнение примет вид $$lg^2x+lg^2y=2,5lg^2(xy) \Leftrightarrow lg^2x+lg^2y=2,5(lgx+lgy)^2\Leftrightarrow 3lg^2x+10lgxlgy+3lg^2y=0 \Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow (lgx+3lgy)(3lgx+lgy)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \lg x=-3lgy\\ \lg y=-3lgx \end{aligned}\right.$$ Поскольку $%x>0,y>0$% то можно прологарифмировать обе части первого уравнения и подставить выражения полученные из второго уравнения $%xy=a^2\Leftrightarrow lgx+lgy=lga^2 $%. При $%lgx=-3lgy, $% получим $%\begin{cases}-2lgy=lga^2\\lgx=-3lgy \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}lgy=-\frac12lga^2\\lgx=-3lgy \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}y=10^{-lg|a|}\\lgx=\frac32lga^2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}y=10^{-lg|a|}\\x=10^{3lg|a|} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}y=|a|^{-1} \\ x=|a|^3 \end{cases}$% А при $%lgy=-3lgx, $% получим $%\begin{cases}-2lgx=lga^2\\lgy=-3lgx \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}lgx=-\frac12lga^2\\lgy=-3lgx \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}x=10^{-lg|a|}\\lgy=\frac32lga^2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=|a|^{-1}\\y=|a|^3 \end{cases}.$% Ответ: $%(-\frac1a;-a^3), (-a^3;-\frac1a)$% отвечен 5 Янв '14 17:20 
ASailyan @ASailyan: у Вас ответ получился неправильный. При перемножении $%x$% и $%y$% дают $%a^{-2}$% вместо $%a^2$%.
(5 Янв '14 17:32)
falcao
|
|
Здесь $%x,y > 0$%, и первое условие можно записать как $%\lg x+\lg y=\lg a^2$%. Тем самым, нам известна сумма логарифмов. А из второго условия нам известна сумма квадратов. Отсюда можно выразить их произведение, а затем решить квадратное уравнение, зная сумму и произведение чисел. Пусть для краткости $%u=\lg x$%, $%v=\lg y$%. Мы знаем, что $%u+v=\lg a^2=2\lg|a|$%. Тогда $%u^2+v^2+2uv=(u+v)^2=\lg^2a^2$%. С учётом второго уравнения, $%u^2+v^2=2,5\lg^2a^2$%, откуда $%uv=-\frac34\lg^2a^2=-3\lg^2|a|$%. Корни квадратного уравнения находятся устно с учётом теоремы Виета: $%u$% и $%v$% здесь принимают значения $%3\lg|a|$% и $%-\lg|a|$%. Значит, $%x$% и $%y$% -- это $%|a|^3$% и $%1/|a|$% в одном или другом порядке. Модуль $%a$% здесь равен $%-a$% ввиду $%a < 0$%. В итоге $%(x;y)=(-a^3;-1/a)$% или то же с переставленными координатами. При $%a=-1$% эти решения совпадают, а при остальных $%a < 0$% решений имеется два. отвечен 5 Янв '14 17:01 
falcao |
.....прихожу xy=a^2 и xy=a^5. что далее....это наверно не верно?
Это явно неверно, так как $%xy$% положительно, а $%a^5$% отрицательно. Условие $%xy=a^5$% ниоткуда не следует.