|
В конус вписаны два шара: первый шар касается боковой поверхности конуса и его основания, второй — боковой поверхности конуса и первого шара. Отношение объемов шаров равно 27. Найти угол при вершине конуса. задан 5 Янв '14 18:34 
292875 |
|
Отношение радиусов шаров равно 3. Рассмотрим осевое сечение. Далее всё сводится к планиметрической задаче. Пусть $%O_1$%, $%O_2$% -- центры касающихся кругов, радиусы которых можно принять за 1 и 3. Тогда расстояние $%O_1O_2$% равно 4. Опустим из центров перпендикуляры $%O_1A_1$% и $%O_2A_2$% на одну из сторону угла. Также из $%O_1$% опустим перпендикуляр на $%O_2A_2$% с основанием $%H$%. Легко видеть, что $%A_1A_2HO_1$% -- прямоугольник, и $%HO_2=3-1=2$%. Тогда синус угла $%HO_1O_2$% равен $%HO_2:O_1O_2=1/2$%, а сам этот угол равен 30 градусам. Легко видеть, что он также равен половине угла при вершине конуса. Поэтому угол при вершине равен 60 градусам. отвечен 5 Янв '14 19:26 
falcao |
|
Из соотношения объёмов следует, что отношение радиусов равно 3. Сумма радиусов равна 4, а разность = 2. Из прямоугольного треугольника, в котором сумма радиусов является гипотенузой, а один из катетов равен разности радиусов 3 - 1 = 2, следует, что синус половины угла конуса при вершине равен 0,5, значит, угол при вершине равен $$\pi/3$$ отвечен 5 Янв '14 19:23 
nikolaykruzh... Да, совершенно верно!
(5 Янв '14 19:27)
falcao
|