|
В футбольном турнире участвовало n команд высшей лиги и 2n команд первой лиги. Каждая команда сыграла ровно одну игру с каждой другой командой. Отношение числа побед, одержанных командами первой лиги, к числу побед, одержанных командами высшей лиги, равно 5:7. Найдите n, если известно, что ничьих в турнире не было. (что то не понятно команд выходит меньше значит какая то часть не сыграла) задан 6 Янв '14 16:18 
parol |
|
Общее число игр равно $%3n(3n-1)/2$%, оно же -- общее число побед. Для команд первой и высшей лиги можно соответственно положить число побед равным $%5k$% и $%7k$%. Это значит, что $%12k=3n(3n-1)/2$%, то есть $%k=n(3n-1)/8$%. В частности, $%n(3n-1)$% кратно восьми. Команды первой лиги, сыграв между собой, провели $%2n(2n-1)/2=n(2n-1)$% игр, и в сумме одержали как минимум столько побед. Это количество не превосходит $%5k$%, откуда следует неравенство $%n(2n-1)\le 5n(3n-1)/8$%. Сокращая на $%n$% и упрощая, приходим к $%8(2n-1)\le5(3n-1)$%, откуда $%n\le3$%. С учётом того, что $%n(3n-1)$% делится на $%8$%, подходит только $%n=3$%. Легко проверить, что турнир с такими данными возможен. Из решения ясно, что команды первой лиги выигрывали только друг у друга, и в сумме набрали $%6\cdot5/2=15$% очков. А команды высшей лиги набрали в сумме 3 очка во встречах между собой, выиграв все 18 игр с командами первой лиги, то есть набрали вместе 21 очко. Отношение 15:21 и есть 5:7. отвечен 6 Янв '14 16:50 
falcao |
|
Пусть число побед команд первой лиги, когда они играли с командами высшей лиги $%x.$% Тогда число всех побед команд первой лиги будет $%C_{2n}^2+x$% (потому что число всех побед, когда команды первой лиги играли между собой равен числу игр между собой). Число побед команд высшей лиги, когда они играли с командами первой лиги $%2n^2-x.$% Число всех побед команд высшей лиги, будет $%C_n^2+2n^2-x.$% Получаем уравнение $%\frac{C_{2n}^2+x}{C_n^2+2n^2-x}=\frac57 \Rightarrow x=\frac{n(3-n)}8.$% Поскольку $%x\in N_0,$% то получаем единственное подходящее значение: $%n=3, x=0.$% Проверка показывает , что при $%n=3, \frac{C_{2n}^2+x}{C_n^2+2n^2-x}=\frac{C_{6}^2}{C_3^2+2\cdot 3^2}=\frac{15}{21}=\frac57.$% Ответ . $%n=3.$% отвечен 6 Янв '14 17:28 
ASailyan |