alt text

задан 6 Янв '14 17:26

в указании написано, что данная система имеет тригонометрическую интерпретацию..но?

(6 Янв '14 17:27) IvanLife

Действительно, имеет ( тригонометрическую интерпретацию ). Область допустимых значений $%x \in [-1;1]$% и $%y \in [-1;1]$%, т.е. можно считать, например, что $%x = cos(a)$% и $%y = cos(b)$%, где $%a$% и $%b$% - из $%[0; \pi]$%, и тогда система имеет вид: $%cos(a) + sin(b) = 1$% и $%sin(a) + cos(b) = \sqrt{3}$%. Можно записать, например, так: $%sin(a) + cos(b) = \sqrt{3}\cdot(cos(a) + sin(b))$%, а это перепишется ( если я нигде не наврала ) как $%sin(a - \frac{\pi}{3}) = sin(b - \frac{\pi}{6})$% -- какая-то зависимость между $%a$% и $%b$% уже получится..

(6 Янв '14 18:27) ЛисаА

@ЛисаА. а можно без тригонометрии?

(6 Янв '14 18:30) IvanLife
1

не знаю =)) геометрически видно только, что решений системы должно быть 2.. ( две точки пересечения окружностей $%(x-1)^2 + y^2 = 1$% и $%x^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 1$% ; точнее, соответствующих полуокружностей..) Но как их подобрать ( такие решения.. ) -?
И как "дорешать" систему ( с тригонометрией ) -тоже не очень понятно.. ( решение там получается - но как-то "всё долго", и не так красиво ( как хотелось бы..))

(6 Янв '14 18:37) ЛисаА

@ЛисаА: да, судя по всему, такой способ решения и подразумевался. А из соотношений между синусами всё должно следовать. Там ещё можно учесть, что $%x\le1$%, то есть $%a$% принадлежит $%[0;\pi/2]$%. Может, это чему-то помогает.

@IvanLife: я думал, Вам как раз с тригонометрией нужно решение? Алгебраически-то там всё решается совсем просто.

(6 Янв '14 18:47) falcao

@falcao, после комментария @ЛисаА все встает на свои места.Да, в указании написано, что можно решать и с использованием тригонометрии.

(6 Янв '14 18:53) IvanLife

@ЛисаА: я когда писал свой комментарий, то Вашего следующего в этот момент здесь не было, и слова относились к тригонометрическому способу. Но самым лучшим выглядит решение через окружности: расстояния между центрами там равны 2, то есть окружности касаются в точке, про которую сразу ясно, что это $%(1/2;\sqrt3/2)$%, и при проверке она подходит. Наверное, имеет смысл тот комментарий преобразовать в ответ.

(6 Янв '14 19:09) falcao

@IvanLife, да у меня как раз "мутный" какой-то комментарий получается.. Понятно, что "оно решится", но как-то "долго и нудно".. И алгебраически - да, тоже можно.. ( возвести в квадраты - только дописывая соответствующие условия, "что" там больше или = 0..), хотя, мне кажется, и это тоже "как-то долго"..

(6 Янв '14 19:11) ЛисаА

@falcao, спасибо =)) а я нарисовала ("условно нарисовала" ) так "здорово", что общих точек у окружностей получилось две..
=)
Но Вы правы - расстояние между центрами = сумме радиусов, т.е. это касание, и тогда очевидно, что для точки касания $%x = \frac{1}{2}$% ( середина отрезка, соединяющего центры..) Да, так красиво ! =)

(6 Янв '14 19:21) ЛисаА
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
4

@falcao, напишете ? =)) Решение - по сути - Ваше =)) И красиво получилось =)) или мне это нарисовать ?))
( я сейчас уберу этот ответ - просто уже боюсь, что сейчас "вытесню" чей-нибудь комментарий.. если еще не вытеснила.. до сих пор не понимаю, как здесь определяется "норма" комментариев.. )

=============================
Как-то так: уравнение $%x + \sqrt{1-y^2} = 1$% задает полуокружность ( при $%x \le 1$% ) окружности $%(x-1)^2 + y^2 = 1$% -- с центром в точке $%B(1;0)$% и радиусом $%R = 1$%. И уравнение $%y + \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3}$% задает полуокружность ( при $%y \le \sqrt{3}$% ) окружности $%x^2 + ( y - \sqrt{3})^2 = 1$% -- с центром в точке $%C (0; \sqrt{3})$% и радиусом $%R = 1$%. А так как расстояние между центрами $%BC =\sqrt{1 + 3} = 2$% - равно сумме радиусов окружностей, то окружности - касаются. Т.е. общая точка - единственная ( точка касания ), и решение системы - единственное ( можно увидеть, что эта точка касания попадает на соответствующие полуокружности ). И очевидно, что эта точка касания - середина отрезка $%BC$%, соединяющего центры окружностей. Т.е. $%x = \frac{1}{2}$%, и $%y = \frac{\sqrt{3}}{2}$%.

alt text

ссылка

отвечен 6 Янв '14 19:33

изменен 6 Янв '14 20:37

@ЛисаА: нет, это решение не моё, потому что я сначала составил систему с тригонометрией, но не успел её решить. К этому времени уже появился Ваш комментарий, а также замечание насчёт другого способа решения. Я тут же посчитал всё алгебраически, и вычисления там были несложные, но некрасивые. А идея двух окружностей (Ваша) всё сразу поставила на места. Это явно наилучшее решение: считать там не надо вообще ничего, так как углы в 30 и 60 градусов возникают сами собой.

Ответ убирать, наверное, не надо -- можно просто добавить сюда текст из комментария про две окружности.

(6 Янв '14 19:42) falcao

Добавила ))
( только временно "убегала" с сайта - поэтому получилось долго..)

(6 Янв '14 20:38) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310

задан
6 Янв '14 17:26

показан
560 раз

обновлен
6 Янв '14 20:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru