последовательность - Доказать, что если lim{x} = a, a lim{y} = infinity, то lim{x + y} = infinity

Здесь достаточно заметить, что сходящаяся последовательность ограничена. Это доказывается просто, на основании определения. Из этого следует, что $%|x_n| < A$% для всех $%n$%, где $%A$% -- константа.

Для того, чтобы доказать бесконечность предела последовательности, достаточно для любого $%M > 0$% найти такой номер $%n_0=n_0(M)$%, что при всех $%n\ge n_0$% будет выполняться неравенство $%|x_n+y_n| > M$%. Посмотрим, за счёт чего этого можно достичь. Нас устраивают случаи $%x_n+y_n > M$% и $%x_n+y_n < -M$%. Числа $%x_n$% ограничены отрезком $%[-A;A]$%, поэтому нужные нам неравенства будут выполнены, если для последовательности $%y_n$%, стремящейся к бесконечности, рассмотреть число с некоторым запасом, то есть взять $%M+A$% там, где мы брали $%M$%.

Мы можем, согласно определению, найти такое $%n_0$%, что для всех $%n\ge n_0$% будет выполнено неравенство $%|y_n| > M+A$%, то есть для каждого такого $%n$% будет либо $%y_n > M+A$%, либо $%y_n < -M-A$%. В первом случае $%x_n+y_n > M+A+x_n > M$%, так как $%x_n > -A$%. Во втором случае $%x_n+y_n < -M-A+x_n < -M$% ввиду $%x_n < A$%.