Доказать, что если $$lim{x_n} = a$$ и$$lim{y_n} = \infty $$ то $$lim(x_n + y_n) = \infty $$

задан 6 Янв '14 20:05

1

Пользуйтесь определением. Ничего сложного нет.

(6 Янв '14 20:24) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь достаточно заметить, что сходящаяся последовательность ограничена. Это доказывается просто, на основании определения. Из этого следует, что $%|x_n| < A$% для всех $%n$%, где $%A$% -- константа.

Для того, чтобы доказать бесконечность предела последовательности, достаточно для любого $%M > 0$% найти такой номер $%n_0=n_0(M)$%, что при всех $%n\ge n_0$% будет выполняться неравенство $%|x_n+y_n| > M$%. Посмотрим, за счёт чего этого можно достичь. Нас устраивают случаи $%x_n+y_n > M$% и $%x_n+y_n < -M$%. Числа $%x_n$% ограничены отрезком $%[-A;A]$%, поэтому нужные нам неравенства будут выполнены, если для последовательности $%y_n$%, стремящейся к бесконечности, рассмотреть число с некоторым запасом, то есть взять $%M+A$% там, где мы брали $%M$%.

Мы можем, согласно определению, найти такое $%n_0$%, что для всех $%n\ge n_0$% будет выполнено неравенство $%|y_n| > M+A$%, то есть для каждого такого $%n$% будет либо $%y_n > M+A$%, либо $%y_n < -M-A$%. В первом случае $%x_n+y_n > M+A+x_n > M$%, так как $%x_n > -A$%. Во втором случае $%x_n+y_n < -M-A+x_n < -M$% ввиду $%x_n < A$%.

ссылка

отвечен 6 Янв '14 20:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×234
×108

задан
6 Янв '14 20:05

показан
540 раз

обновлен
6 Янв '14 20:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru