Если группы A и B заданы представлением порождающими и определяющими словами $$A=( a_{1} , a_{2} ,..., a_{m};W) $$ и $$B=( b_{1} , b_{2} ,..., b_{n};V)$$ , то группа $$G=(A \ast B;H=K, \varphi )$$ по определению задается представлением$$ G=( a_{1} , a_{2},..., a_{m}, b_{1} , b_{2},..., b_{n} ;W,V,h=h \varphi (h \in H)) .$$ Определим отображение $$ \gamma $$ множества порождающих $$a_{1} , a_{2},..., a_{m}, b_{1} , b_{2},..., b_{n}$$ группы G в группу U , полагая $$a_{i} \gamma =a_{i} \sigma$$ и $$b_{j} \gamma =b_{j} \tau $$ (i=1,...,m;j=1,...,n ), и продолжим его до отображения слов от этих порождающих. Покажем, что все определяющие слова группы G переходят в единицу группы U , а все определяющие соотношения группы G переходят в равенства, верные в группе U . Для слов из множеств W и V это очевидно, но мне непонятно. Можете пояснить?

А и В некоторые группы, Н - подгруппа группы А, К - подгруппа группы В и $$ \varphi $$ - изоморфизм группы Н на группу К. Гомоморфизмы $$ \sigma : A \rightarrow U$$ и $$ \tau : B \rightarrow U$$ групп А и В в некоторую группу U согласованы с изоморфизмом $$ \varphi $$.

задан 6 Янв '14 21:28

"Для слов из множеств W и V это очевидно, но мне непонятно. Можете пояснить?"

Может быть, я неправильно понял суть вопроса? Слово W, рассматриваемое как элемент свободной группы, задаёт единичный элемент группы $%A$%. Поэтому оно переходит в единицу группы $%U$% под действием $%\sigma$%. Значит, под действием $%\gamma$% оно отображается туда же, поскольку $%\gamma$% и $%\sigma$% действуют одинаково на словах над групповым алфавитом $%a_1$%, ..., $%a_m$%. Аналогично для $%V$%.

(6 Янв '14 21:39) falcao

Встречный тогда вопрос, почему слово W задает единичный элемент группы?

(6 Янв '14 21:49) Kseniya

W и V это множества слов

(6 Янв '14 21:50) Kseniya

Я говорил об элементах этих множеств. Пусть тогда считается, что $%W\in{\cal W}$%. Слово $%W$% в этом случае задаёт единичный элемент группы $%A$%, являясь одним из её определяющих соотношений.

(6 Янв '14 22:06) falcao

Тогда это так будет. А для соотношения вида $$h=h \varphi $$ будет $$h \gamma =h \sigma и (h \varphi ) \gamma =(h \varphi ) \tau $$??

(6 Янв '14 22:14) Kseniya

Да, для соотношений, "склеивающих" подгруппы, нужный факт вытекает из согласованности гомоморфизмов. То есть тут все проверки тавтологичны.

(6 Янв '14 22:53) falcao

Из согласованности гомоморфизмов сигма и тау с изоморфизмом фи следует, что в группе U выполнено равенство $$h \gamma =(h \varphi ) \gamma $$

(6 Янв '14 23:01) Kseniya
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
6 Янв '14 21:28

показан
374 раза

обновлен
6 Янв '14 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru