На доску выписаны числа a1, a2, …, a300. Известно, что a1=2, a2=8. Найдите a300, если для любого натурального n справедливо равенство an+2=an+1–an. Получилось комбинация цифр 2,8,6,-2,-8,-6,2,8... Но какая из этих цифр есть a300? мне кажется,что 6. Проверьте,пожалуйста.

задан 7 Янв '14 0:16

Если Вы имеете в виду, что $%a_{300}=a_6$%, то это верно, потому что последовательность имеет период $%6$%. Но шестое число в списке равно $%-6$%.

(7 Янв '14 0:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Мы имеем следующую задачу:

$$a_{n+2}-a_{n+1}+a_n=0\\a_1=2,a_2=8$$

Характеристический многочлен для этого уравнения равен $%\lambda^2-\lambda+1=0$% и имеет два комплексносопряжённых корня $%\lambda=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt 3}{2}i=\cos\frac{\pi}{3} \pm i\sin\frac{\pi}{3}$%

Общее решение нашего уравнения имеет вид $%a_n=c_1\cos\frac{\pi n}{3}+c_2\sin\frac{\pi n}{3}$%

Т. к. $%a_1=2,a_2=8$%, то получаем систему

$$c_1+\sqrt 3 c_2=4\\ -c_1+\sqrt 3c_2=16$$

Отсюда $%a_n=-6\cos\frac{\pi n}{3}+\frac{10}{\sqrt 3}\sin\frac{\pi n}{3}$%

$$a_{300}=-6$$

Использованная литература: Романко. Разностные уравнения. Пригодится, если вновь встретитесь с такими задачами.

ссылка

отвечен 7 Янв '14 10:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
7 Янв '14 0:16

показан
605 раз

обновлен
7 Янв '14 10:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru