Вычислить количество всех точек пересечения диагоналей в икосаэдре, отличных от его вершин.

задан 7 Янв '14 15:24

изменен 8 Янв '14 19:03

Deleted's gravatar image


126

Здесь есть геометрическая часть, а также комбинаторная. Второе можно сделать сходу, а над первым надо думать. Какая информация насчёт диагоналей и типов их пересечений уже полагается известной? Это бы помогло сократить лишние рассуждения.

(7 Янв '14 16:01) falcao

@falcao Это просто условие задачи, больше ничего нет.

(7 Янв '14 20:56) Clarkkent

Да, я понимаю: постановка задачи более чем корректна. Тогда, если никаких "облегчений" не полагается, придётся анализировать все случаи пересекающихся диагоналей, а потом уже считать. Я представляю себе, как это надо делать, но пока только в общих чертах. Тут геометрическая часть должна быть наиболее существенной, потому что при наличии классификации подсчитать число вариантов труда не составит.

(7 Янв '14 21:06) falcao

@falcao Так вы мне поможете?

(7 Янв '14 22:59) Clarkkent

@Clarkkent: я подумал над задачей, и вроде бы получил решение, но надо его проверить, а потом написать. Тут сейчас довольно много задач одновременно появилось, и я сразу всё не успеваю.

(7 Янв '14 23:14) falcao

@falcao Ну как сможете, напишите пожалуйста решение, премного благодарен

(8 Янв '14 0:56) Clarkkent

Я думаю (строго не могу доказать) число этих точек $$ 1+12 \cdot 5/2=31 $$

(8 Янв '14 1:02) ASailyan
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
3

У меня получилось 21.

Прежде всего, каждая из 12 вершин икосаэдра соединена с 5 из 11 оставшихся при помощи рёбер, а с остальными соединена диагоналями. Из каждой вершины, тем самым, исходит 6 диагоналей, а их общее число составляет $%12\cdot6/2=36$%. Из них 6 диагоналей соединяют противоположные вершины, проходя через центр икосаэдра. Остальные 30 диагоналей устроены одинаково, то есть каждая из них соединяет две вершины, расстояние между которыми, измеряемое по рёбрам икосаэдра, равно двум. Концы $%A$%, $%B$% таких диагоналей устроены следующим образом: существует и единственно ребро $%KL$% такое, что $%AKL$% и $%BKL$% являются гранями. Это факт геометрически очевиден, но мы можем дать следующее его обоснование: если ребро $%KL$% задано, то оно является общей границей каких-то граней $%AKL$% и $%BKL$%, чему соответствует диагональ $%AB$%. Это охватывает все возможные случаи, так как рёбер у икосаэдра, как и рассматриваемых диагоналей (кроме "длинных") имеется в точности 30.

Посмотрим, какие бывают пересечения у диагоналей, взятых из числа 30 (их можно далее называть "обычными"). Мы уже установили, что за каждую обычную диагональ "отвечает" одно из рёбер. Рассмотрим какую-нибудь грань $%ABC$%. Рассмотрим три соседние грани $%ABC'$%, $%BCA'$% и $%CAB'$%. Легко заметить, что обычные диагонали $%AA'$% и $%BB'$% пересекаются как диагонали правильного пятиугольника, вершинами которого являются все соседние с $%C$% вершины икосаэдра. То же заключение можно сделать насчёт пересечения $%BB'$% c $%CC'$% и $%CC'$% с $%AA'$%. На самом деле, это пересечение является тройным, что легко следует из рассмотрения отношений, в которых делятся точкой пересечения диагонали правильного пятиугольника.

Все точки пересечения обычных диагоналей, тем самым, соответствуют граням, а потому их ровно 20. К тому же выводу можно прийти другим способом: для каждой вершины можно рассмотреть пятиугольник, сформированный соседними вершинами, и там получается пять точек пересечения диагоналей. Тогда общее количество таких точек, с учётом кратности, равно 60, а поскольку все пересечения тройные, то таких точек ровно 20.

Осталось заметить, что "длинная" диагональ пересекает пятиугольники либо в центре, либо в вершине, и потому не содержит учитываемых при подсчёте точек пересечения с обычными обычными диагоналями. Отсюда мы имеем одну общую точку всех "длинных" диагоналей, плюс 20 найденных выше точек для обычных. Итого 21.

ссылка

отвечен 8 Янв '14 14:19

@falcao,добавлю, что точки пересечения коротких диагоналей являются вершинами правильного додекаэдра, а число вершин додекаэдра 20. Если считать единственную точку пересечения длинных диагоналей, то всего будет $%21.$% Все таки, я помещу мое решение. Там у меня была логическая ошибка, я разделела не на $%3$%, а на $%2.$%

(8 Янв '14 16:34) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,339
×2,695
×513

задан
7 Янв '14 15:24

показан
1482 раза

обновлен
8 Янв '14 16:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru